所谓的透视矩阵，指的是一个“降维”的转换过程。设想下一个在3维空间里的3D模型，它必然拥有一些顶点信息，设其中任意顶点的坐标为(x,y,z,1)（后面的1是齐次坐标的意思），当我们需要把这个模型投影到某个平面上时，它就从3维变成了2维，而顶点坐标(x,y,z,1)则变成(x,y,d,?)。

可以注意到，经过透视变换后的顶点，依然是四维的形式，只是含义变了，其中的(x,y)分量指的是这个顶点在投影平面上的坐标(显然是因为投影平面相当于一个2维坐标系)。d指的是这个投影点的深度(depth)，d一般是规范化的，范围是[-1,1]。d的作用在下一个渲染阶段(Depth Test)大有用处。而后面的?，无法一言蔽之，下文会讲到这个问题。

视锥体 Frustum

视锥体，指的是一个有限的椎体空间，处于这个视锥体里的对象，才是“可见”的对象，可见的对象会被渲染到“视平面”上（三维到二维的投影）。视锥体有4个参数：

  • aspect ratio，简称ar，ar = 视平面width/视平面height
  • （vertical）field of view，简称fov，指yz平面的视角大小，即下文的\alpha角。
  • near Z Plane，简称near面，是一个平行于xy平面的面，世界坐标系下是一个浮点值，可以用来裁剪太靠近摄像机的物体
  • far Z Plane，简称far面，含义类似near面，可以用来裁剪太远离摄像机的物体

视平面可以认为是视锥体的near面；far面相对来说并没有那么重要，因为我们知道人眼的“视锥体”是没有far面的（比如裸眼可以看到月亮星星，far面其实是无限远的），在图形学中，far面主要是用来裁剪太过遥远的物体、提高渲染效率的。

下面这个是我找到的一个视锥体的演示程序，非常直观地展示了视锥体的作用：演示程序来源

从摄像机位置（一个点）观察视平面的话，是长这样子的：

y轴范围是[-1,1]，x轴范围是[-ar,ar]，因为ar = 视平面width/视平面height，其实也就是ar=屏幕width/屏幕height，因为大部分屏幕都是宽屏，所以ar的值一般是大于1的。当屏幕宽高一致时，视平面才是上面这幅图的样子。

现在，换成侧视角来观察这个视锥体(yz平面)：

2.png

红线是投影面(视平面)，绿色线是摄像机到投影面的向量d，$\alpha$角即是fov。注意，OpenGL在“世界坐标系”中，用的是右手坐标系，所以上图中，z轴的左边才是1、右边是-1。因此，向量d的长度是-d（要取反，不然会计算错误）。综上，可以得出：

$tan(\frac {\alpha } { 2 } ) = \frac {1} {|\vec d|}$

$|\vec d| = -d = \frac {1} { tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

接下来是求某顶点$(x,y,z,w)$在投影面上的投影坐标$(x_{p},y_{p},z_{p},w_{p})$。 看下面的侧视图，我们可以先求解$y_{p}$：

3.png

根据相似三角形定理，可以得到：

$\frac {y_{p} } { |\vec d| } = \frac { y } { -z }$

$y_{p} = \frac { y * |\vec d| } { -z } = \frac { y } { -z * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

注意，这里的z需要取反，因为上面的等式里，$y_{p}$和y同符号，$|\vec d|$是正号，而z显然本身是负值，所以z要取反。

同样的，x分量也可以用相同的公式求得：

$\frac {x_{p} } { |\vec d| } = \frac { x } { -z }$

$$x_{p} = \frac { x * |\vec d| } { -z } = \frac { x } { -z * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$$

此时要考虑到一个问题：$ y_{p}$的范围是[-1,1]，而$x_{p}$是$[-ar, ar]$。为了让$x_{p}$和$y_{p}$一致，需要让$x_{p}$除以ar，从而得到：

$x_{p} = \frac { x } { -z * ar * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

$y_{p} = \frac { y } { -z * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

到了这里，我们可以开始构造下透视矩阵了：

$$Perspective Matrix = M = \left[ \begin{matrix} a&b&c&d\ e&f&g&h\ i&j&k&l\ m&n&o&p\ \end{matrix} \right]$$

被转换的顶点的坐标(矩阵)是：$V = \left[ \begin{matrix} x\ y\ z\ w\ \end{matrix} \right]$

转换后的投影点是:$V_{p} = \left[ \begin{matrix} x_{p} \ y_{p} \ z_{p} \ w_{p} \ \end{matrix} \right]$

转换过程:

$MV = V_{p}$

$\left[ \begin{matrix} a&b&c&d\ e&f&g&h\ i&j&k&l\ m&n&o&p\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\ y\ z\ w\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_{p} \ y_{p} \ z_{p} \ w_{p} \ \end{matrix} \right]$

从以上等式可以得到:

$ax + by + cz + dw = x_{p} = \frac { x } { -z * ar * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

这是M矩阵第一行和V的点积等式。求解这个等式的话，会发现可以让b=0、d=0，从而等式简化成:

$ax + cz = \frac { x } { -z * ar * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

这样做后就有了个问题：找不到可以代入a、c的常量值。其中左边比较多余的cz项，如果可以干掉的话，意味着c必须等于0。这么做后，等式进而变成:

$ax = \frac { x } { -z * ar * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

观察等式，可以发现等式右边有个多余的z。OpenGL中对这个问题的处理是，在变换过程中强(偷)制(偷)插入一个步骤：把矩阵相乘的结果值再统一除以-z。对，没错，确实是-z而不是z，负号的作用是把坐标从右手坐标系转换到左手坐标系，原因是NDC(Normalized Device Coord)坐标系是左手坐标系，即NDC的z轴的正方向是朝向屏幕里面的。这个除以-z的技巧被称为Perspective Divide。

这么做之后，事情就简单了，上面的等式可以推出：

$a = \frac { 1 } { ar * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

对于M矩阵的f，用同样的做法可以得到:

$f = \frac { 1 } { tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }$

从而得到了M的前两行的值：

$M = \left[ \begin{matrix} \frac { 1 } { ar * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }&0&0&0\ 0&\frac { 1 } { tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }&0&0\ i&j&k&l\ m&n&o&p\ \end{matrix} \right]$

到了这里，其实透视变换问题已经解决大半了，因为$x_{p}$和$y_{p}$都可以算了，并且可以规范化到[-1,1]范围。剩下的问题是$z_{p}$，即顶点的深度信息。

前面提到的Perspective Divide会导致一个问题：z分量在转换过程中会因为Perspective Divide而导致变成-1。针对这个问题，OpenGL的解决方案是，把V的z值取反并复制覆盖到w上，从而把原始z值保存起来（也就是M矩阵的第四行所负责的事情），同时Perspective Divide仅对x、y、z有效（跳过w）。

因此，M的后两行也可以得到了：

$M = \left[ \begin{matrix} \frac { 1 } { ar * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }&0&0&0\ 0&\frac { 1 } { tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }&0&0\ 0&0&0&0\ 0&0&-1&0\ \end{matrix} \right]$

然而，事情还没有结束。现在用这个新的M去做透视变换后，得不到规范化的z分量。规范化的，可以使得后续的渲染步骤不需要知道near Z和far Z。为了完成这个事情，需要对M做改进，着手点就是row 3，全为0的第三行。

再阐述一下问题：我们需要求出row3=(i,j,k,l)，使得row3和V做点积运算能得到规范化的$z_{p}$。用公式表示：

$z_{p} = Az + B , z_{p}\in [-1,1]$

再考虑上Perspective Divide，上式变成：

$z_{p} = A + \frac {B}{-z} , z_{p}\in [-1,1]$

思路非常明确了：把公式中的A、B求出来，代入row3，就能解决问题。

因为当z等于near Z时，z_{p}必然等于1；当z等于far Z时，z_{p}必然等于-1 (Note：这里用的是右手坐标系）。因此得到：

$A + \frac {B}{-NearZ} = 1$

$A = 1 - \frac {B}{-NearZ} = 1 + \frac {B}{NearZ}$

接着：

$A + \frac {B}{-FarZ} = -1$

$1 + \frac {B}{NearZ} - \frac {B}{FarZ} = -1$

$\frac {BFarZ - BNearZ}{NearZ*FarZ} = -2$

$B = \frac {-2NearZFarZ}{FarZ - NearZ} = \frac {2NearZFarZ}{NearZ - FarZ}$

B解决了，求A：

$A = 1 + \frac {B}{NearZ} = 1 + \frac {2FarZNearZ}{NearZ*(NearZ - FarZ)}$

$A = 1 + \frac {2*FarZ}{NearZ - FarZ}$

$A =\frac {NearZ - FarZ + 2*FarZ}{NearZ - FarZ}$

$A = \frac {NearZ + FarZ}{NearZ - FarZ}$

有了A、B后，就可以求row3了:

$ix +jy +kz +lw = Az + B$

显然，可让i = j = 0，那么上式变成:

$kz + lw = Az + B$

因为V的w分量必然是1，所以可以得知：k = A，l = B。

代入M，得到最终完善的M：

$M = \left[ \begin{matrix} \frac { 1 } { ar * tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }&0&0&0\ 0&\frac { 1 } { tan(\frac {\alpha } { 2 } ) }&0&0\ 0&0&\frac {NearZ + FarZ}{NearZ - FarZ}&\frac {2FarZNearZ}{NearZ - FarZ}\ 0&0&-1&0\ \end{matrix} \right]$

再对比下superbible7中构造透视矩阵的代码：

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static inline mat4 perspective(float fovy, float aspect, float n, float f)
{
    float q = 1.0f / tan(radians(0.5f * fovy));
    float A = q / aspect;
    float B = (n + f) / (n - f);
    float C = (2.0f * n * f) / (n - f);

    mat4 result;

    result[0] = vec4(A, 0.0f, 0.0f, 0.0f);
    result[1] = vec4(0.0f, q, 0.0f, 0.0f);
    result[2] = vec4(0.0f, 0.0f, B, -1.0f);
    result[3] = vec4(0.0f, 0.0f, C, 0.0f);

    return result;
}

仔细观察，发现有1处不同：这个函数构造的矩阵是列主导的矩阵。其中元素的取值和本文的推导完全一致！

本文部分内容翻译自：Tutorial 12: Perspective Projection

本文介绍的是OpenGL中的透视矩阵。