矩阵$A$的第$i$⾏第$j$列的元素为$A_{\text{ij}}$。我们⽤$I_{N}$或（$I$）表⽰$N \times N$的单位矩阵。

1.矩阵的加减法

（1）${C}={A \pm B}$,对应元素相加减

（2）矩阵加减法满足的运算法则

a.交换律：${A + B}={B + A}$

b.结合律：$\left( {A + B} \right) + {B}{= A+}({B + C})$

c.${A + 0}={A}$

d.$A - A= 0$

2.矩阵的数乘

（1）$\bf{B}=\lambda\bf{A}$，各元素均乘以常数

（2）矩阵数乘满足的运算法则

a.数对矩阵的分配律：$\lambda\left( \bf{A + B}\right)\bf=\lambda\bf{A +}\lambda\bf{B}$

b.矩阵对数的分配律：$\left( \lambda\bf{+}\mu\right)\bf{A}\bf=\lambda\bf{A +}\mu\bf{A}$

c.结合律：$\left( \text{λμ}\right)\bf{A}\bf=\lambda\bf{(}\mu\bf{A}\bf{)}$

d.$\bf{ 0 \bullet A}\bf{= 0}$

3.矩阵的乘法

（1）$\bf{C}\bf=\bf{A}{\bf{l \times n}}\bf{B}{\bf{n\times m}}$，左行右列对应元素相乘后求和为C的第$\bf{l}$行第$\bf{m}$列的元素

（2）矩阵乘法满足的运算法则

a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有$\bf{\text{AI}}\bf=\bf{IA= A}$

b.分配律：$\bf{A}\left( \bf{B + C} \right)\bf{=AB}\bf{+}\bf{\text{AC}}$

c.结合律：$\bf{\ }\left( \bf{\text{AB}}\right)\bf{C}\bf=\bf{A}\bf{(}\bf{\text{BC}}\bf{)}$

d.数乘结合律：$\lambda\left( \bf{\text{AB}}\right)\bf=\bf{A}\bf{(}\lambda\bf{B}\bf{)}$

4.矩阵的转置

$\bf{A}^{\bf{T}}$,${\bf{(}\bf{A}^{\bf{T}}\bf{)}}{\text{ij}} = A{\text{ji}}$

（1）矩阵的幂：$A^{1} = A$,$\ A^{2} = \text{AA}$,…,$\ A^{k + 1} = A(A^{k})$

（2）矩阵乘法满足的运算法则

a.${\bf{(}\bf{A}^{\bf{T}}\bf{)}}^{\bf{T}}\bf{= A}$

b.$\bf{\ }{\bf{(A + B}\bf{)}}^{\bf{T}} =\bf{A}^{\bf{T}}\bf{+}\bf{B}^{\bf{T}}$

c.$\bf{\ }{\bf{(}\lambda\bf{A}\bf{)}}^{\bf{T}} =\lambda(\bf{A}^{\bf{T}}\bf{)}$

d.$\bf{\ }{\bf{(AB}\bf{)}}^{\bf{T}} =\bf{A}^{\bf{T}}\bf{B}^{\bf{T}}$

5.对称矩阵

$\bf{A}^{\bf{T}}\bf{= A}$即$a_{\text{ij}} =a_{\text{ji}}$；

反对称矩阵：$\bf{A}^{\bf{T}}\bf{= - A}$即$a_{\text{ij}} = {-a}_{\text{ji}}$

（1）设$\bf{A}\bf{,}\bf{B}$为（反）对称矩阵，则$\bf{A \pm B}$仍是（反）对称矩阵。

（2）设$\bf{A}\bf{,}\bf{B}$为对称矩阵，则$\bf{\text{AB}}$或$\bf{\text{BA}}$仍是对称矩阵的充要条件$\bf{\text{AB}}$=$\bf{\text{BA}}$。

（3）设$\bf{A}$为（反）对称矩阵，则$\bf{A}^{\bf{T}}$，$\lambda\bf{A}$也是（反）对称矩阵。

（4）对任意矩阵$\bf{A}$，则$\bf{H} \equiv \frac{1}{2}\left(\bf{A} + \bf{A}^{\bf{T}} \right),\bf{S} \equiv \frac{1}{2}\left(\bf{A} + \bf{A}^{\bf{T}}\right)$分别是对称矩阵和反对称矩阵且$\bf{A} = \bf{H} + \bf{S}$.

（5）${\bf{(}\bf{A}^{\bf{T}}\bf{)}}^{\bf{T}} = \bf{A}$

6. Hermite矩阵：

$\bf{A}^{\bf{H}}\bf{= A}$,即$a_{\text{ij}}= \overset{\overline{}}{a_{\text{ji}}}$；

反Hermite矩阵，$\bf{A}^{\bf{H}}\bf{= - A}$即$a_{\text{ij}} =\overset{\overline{}}{a_{\text{ji}}}$

a.$\bf{A}^{\bf{H}}\bf={\bf{(}\overset{\overline{}}{A}\bf{)}}^{\bf{T}}$

b.$\bf{\ }{\bf{(A + B}\bf{)}}^{\bf{H}} =\bf{A}^{\bf{H}}\bf{+}\bf{B}^{\bf{H}}$

c.$\bf{\ }{\bf{(}\lambda\bf{A}\bf{)}}^{\bf{H}} =\overset{\overline{}}{\lambda}(\bf{A}^{\bf{H}}\bf{)}$

d.$\bf{\ }{\bf{(AB}\bf{)}}^{\bf{H}} =\bf{A}^{\bf{H}}\bf{B}^{\bf{H}}$

e. ${\bf{(}\bf{A}^{\bf{T}}\bf{)}}^{\bf{T}} = \bf{A}$

f.$\bf{\ }{\bf{(}\bf{A}^{\bf{H}}\bf{)}}^{\bf{- 1}} ={\bf{(}\bf{A}^{\bf{-1}}\bf{)}}^{\bf{H}}$（当$\bf{A}$矩阵可逆时）

7.正交矩阵

若$\bf{A}^{\bf{T}}\bf{A = A}\bf{A}^{\bf{T}}\bf{=E}$,,则$\bf{A,(B) \in}\bf{E}^{\bf{n \times n}}$是正交矩阵

（1）$\bf{A}^{- \bf{1}} =\bf{A}^{\bf{T}}\bf{\in}\bf{E}^{\bf{n \times n}}$

（2）$\det\bf{A}\bf{= \pm}1$

（3）$\bf{\text{AB}}$,$\bf{\ BA \in}\bf{E}^{\bf{n \times n}}$

8.酉矩阵

若$\bf{A}^{\bf{H}}\bf{A = A}\bf{A}^{\bf{H}}\bf{=E}$,则$\bf{A,(B) \in}\bf{U}^{\bf{n \times n}}$是酉矩阵

（1）$\bf{A}^{- \bf{1}} =\bf{A}^{\bf{H}}\bf{\in}\bf{U}^{\bf{n \times n}}$

（2）$\left| \det\bf{A} \right|\bf=1$

（3）$\bf{\text{AB}}$,$\bf{\ BA \in}\bf{U}^{\bf{n \times n}}$

（4）$\bf{A}^{\bf{T}}\bf{\in}\bf{U}^{\bf{n \times n}}$

9.正规矩阵

若$\bf{A}^{\bf{H}}\bf{A =A}\bf{A}^{\bf{H}}$,则$\bf{A}$是正规矩阵；

若$\bf{A}^{\bf{T}}\bf{A =A}\bf{A}^{\bf{T}}$,则$\bf{A}$是实正规矩阵

10.矩阵的迹和行列式

（1）$\text{tr}\left( \bf{A} \right) = \sum_{\bf{i} =\bf{1}}^{\bf{n}}\bf{a}{\bf{\text{ii}}} = \sum{\bf{i} =\bf{1}}^{\bf{n}}\bf{\lambda}_{\bf{i}}$为矩阵$\bf{A}$的迹；$\left|\bf{A} \right|$或$det(\bf{A})$为行列式

（2）$\text{tr}\left( \bf{\text{AB}} \right) = \text{tr}\left(\bf{\text{BA}} \right)$；注：矩阵乘法不满足交换律

（3）$\text{tr}\left( \bf{\text{ABC}} \right) = \text{tr}\left(\bf{\text{CBA}} \right) = \text{tr}\left( \bf{\text{BCA}} \right)$

（4）$A =\bf{\text{UB}}\bf{U}^{\bf{\dagger}}$,$\bf{\text{\U}}$为酉矩阵，则$\text{tr}\left( \bf{A} \right) = \text{tr}\left(\bf{B} \right)$

（5）$\left| \bf{I}{\bf{M}}\bf{+ A}\bf{B}^{\bf{T}}\right|\bf=\left|\bf{I}{\bf{N}}\bf{+}\bf{A}^{\bf{T}}\bf{B} \right|$

（6）$\left| \bf{I}{\bf{M}}\bf{+ a}\bf{b}^{\bf{T}}\right|\bf=\left|\bf{I}{\bf{N}}\bf{+}\bf{a}^{\bf{T}}\bf{b} \right|$

（7）$\left| \bf{A}^{\bf{T}} \right|\bf=\left| \bf{A}\right|$

（8）$\left| \lambda\bf{A} \right|\bf=\lambda^{n}\left| \bf{A}\right|$

（9）$\left| \bf{\text{AB}} \right| = \left| \bf{A} \right|\left|\bf{B} \right|$

（10）$det(I + \bf{\text{AB}}) = det(I + \bf{\text{BA}})$

（11）$\left| \bf{A} \right| = \prod_{\bf{i} =\bf{1}}^{\bf{M}}\bf{\lambda}_{\bf{i}}$

（12）$\bf{C} = \log\left\lbrack \det\left( \bf{I}{\bf{M}} +\bf{\text{HQ}}\bf{H}^{*} \right) \right\rbrack$,$\ \bf{Q} =\frac{\bf{\rho}}{\bf{N}}\bf{I}{\bf{N}}$，则$\bf{C} =\sum_{i = 1}^{m}{\log}{\left(1+\frac{\rho}N\lambda_{i}\right)}$其中$\lambda_{i}$为$\bf{H}\bf{H}^{*}$奇异分解值的特征值

11.矩阵的伴随矩阵$\bf{A}^{\bf{*}}$

（1）设$\bf{A} = \left{ \bf{a}{\bf{\text{ij}}}\right}$由行列式$\left| \bf{A}\right|$的代数余子式$\bf{A}{\bf{\text{ij}}}$所构成的矩阵

（2）$\bf{A}\bf{A}^{} = \bf{A}^{}\bf{A} = \left| A\right|\bf{I}$

12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）

（1）A的逆矩阵记作$\bf{A}^{- \bf{1}}$,$\ \bf{A}\bf{A}^{-\bf{1}} = \bf{A}^{- \bf{1}}\bf{A} = \bf{I}$;

（2）$\left| \bf{A} \right| \neq0$（$\bf{A}$为非奇矩阵）时，$\bf{A}^{- \bf{1}} =\frac{\bf{1}}{\left| \bf{A} \right|}\bf{A}^{*}$

（3）$\left| \bf{A} \right| \neq 0$且$\lambda \neq0$，则${\bf{(}\lambda\bf{A}\bf{)}}^{\bf{- 1}} =\frac{1}{\lambda}\bf{A}^{\bf{- 1}}$

（4）由$\bf{A}{\bf{B}\bf{B}^{- \bf{1}}\bf{A}}^{-\bf{1}} = \bf{I}$，得${(\bf{\text{AB}})}^{- \bf{1}} =\bf{A}^{\bf{- 1}}\bf{B}^{\bf{- 1}}$

（5）${\bf{(}\bf{A}^{\bf{T}}\bf{)}}^{\bf{- 1}} ={\bf{(}\bf{A}^{\bf{- 1}}\bf{)}}^{\bf{T}}$

（6）若$\left| \bf{A} \right| \neq 0,\left| \bf{A}^{\bf{- 1}}\right|\bf=\frac{\bf{1}}{\left| \bf{A} \right|}$

（7）若$\bf{A}$是非奇上（下）三角矩阵，则$\bf{A}^{\bf{-1}}$也上（下）三角矩阵

（8）$\bf{A}^{- k} = {\bf{(}\bf{A}^{\bf{- 1}}\bf{)}}^{k}$

（9）${\bf{(}\bf{P}^{\bf{-1}}\bf{+}\bf{B}^{\bf{T}}\bf{R}^{\bf{-1}}\bf{B}\bf{)}}^{\bf{-1}}\bf{B}^{\bf{T}}\bf{R}^{\bf{- 1}}\bf{=P}{\bf{B}^{\bf{T}}\bf{(}\bf{\text{BPB}}^{\bf{T}}\bf{+}\bf{R}\bf{)}}^{\bf{-1}}$

（10）${\bf{(}\bf{I}\bf{+}\bf{\text{AB}}\bf{)}}^{\bf{-1}}\bf{A =B}{\bf{(}\bf{I}\bf{+}\bf{\text{BA}}\bf{)}}^{\bf{- 1}}$

（11）Woodbury恒等式
${\bf{(}\bf{A}\bf{+}\bf{B}\bf{D}^{\bf{-1}}\bf{C}\bf{)}}^{\bf{- 1}}\bf=\bf{A}^{\bf{-1}}\bf{-}\bf{A}^{\bf{- 1}}\bf{B}{\bf{(D+}\bf{C}\bf{A}^{\bf{- 1}}\bf{B}\bf{)}}^{\bf{-1}}\bf{C}\bf{A}^{\bf{- 1}}$

（12）$\bf{A}^{\bf{- 1}}\bf{= U} \land^{-1}\bf{U}^{\bf{H}}$

12.对角矩阵

矩阵$\bf{A}$为对称矩阵，$\bf{Q}$正交矩阵，则$\bf{Q}^{\bf{-1}}\bf{AQ =diag}\bf{(}\bf{\lambda}{\bf{1}}\bf{\cdots,}\bf{\lambda}{\bf{n}}\bf{)}$为对角矩阵或$\bf{U}^{\bf{-1}}\bf{AU =}\bf{U}^{\bf{H}}\bf{AU = diag}\left(\bf{\lambda}{\bf{1}}\bf{\cdots,}\bf{\lambda}{\bf{n}}\right)\bf= \land$，则$\bf{A = U} \land\bf{U}^{\bf{H}}\bf=\sum_{\bf{i} =\bf{1}}^{\bf{n}}{\bf{\lambda}{\bf{i}}u{i}u_{i}^{T}}$;${\bf{A}^{\bf{- 1}}\bf{= U} \land^{-1}\bf{U}^{\bf{H}}\bf=\sum_{\bf{i} =\bf{1}}^{\bf{n}}{\frac{1}\bf{\lambda}{\bf{i}}}u{i}u_{i}^{T}}$

13.矩阵的导数

（1）$\frac{\partial}{\partial x}\left( \bf{\text{AB}} \right) =\frac{\partial\bf{A}}{\partial x}\bf{B} +\bf{A}\frac{\partial\bf{B}}{\partial x}$

（2）$\frac{\partial}{\partial x}\left( \bf{A}^{\bf{- 1}} \right) = -\bf{A}^{\bf{- 1}}\frac{\partial\bf{A}}{\partial x}\bf{A}^{\bf{- 1}}​$

（3）$\frac{\partial}{\partial x}\ln\left| \bf{A} \right| = tr\left(\bf{A}^{\bf{- 1}}\frac{\partial\bf{A}}{\partial x} \right)$

（4）$\frac{\partial}{\partial A_{\text{ij}}}\text{tr}\bf{(AB)} =B_{\text{ij}}$

（5）$\frac{\partial}{\partial\bf{A}}\text{tr}\bf{(AB)} =\bf{B}^{T}$

（6）$\frac{\partial}{\partial\bf{A}}\text{tr}\bf{(}\bf{A}^{T}\bf{B)}= \bf{B}$

（7）$\frac{\partial}{\partial\bf{A}}\text{tr}\bf{(A)} = \bf{I}$

（8）$\frac{\partial}{\partial\bf{A}}\text{tr}\bf{(AB}\bf{A}^{T}\bf{)}= \bf{A(B +}\bf{B}^{T}\bf{)}$

（9）$\frac{\partial}{\partial\bf{A}}\ln\left| \bf{A} \right| = \left(\bf{A}^{\bf{- 1}} \right)^{T}$