线性代数中的平移、缩放和旋转矩阵

平移矩阵 Translate Matrix

$T = \left[ \begin{matrix} 1&0&0&x\ 0&1&0&y\ 0&0&1&z\ 0&0&0&1\ \end{matrix} \right]$

缩放矩阵 Scale Matrix

$S = \left[ \begin{matrix} x&0&0&0\ 0&y&0&0\ 0&0&z&0\ 0&0&0&1\ \end{matrix} \right]$

旋转矩阵 Rotate Matrix

绕(1,0,0)旋转\theta角度

$R_{(1,0,0)} = \left[ \begin{matrix} 1&0&0&0\ 0&cos\theta &sin\theta &0\ 0&-sin\theta &cos\theta &0\ 0&0&0&1\ \end{matrix} \right]$

绕(0,1,0)旋转\theta角度

$R_{(0,1,0)} = \left[ \begin{matrix} cos\theta&0&-sin\theta&0\ 0&1&0&0\ sin\theta &0&cos\theta &0\ 0&0&0&1\ \end{matrix} \right]$

绕(0,0,1)旋转\theta角度

$R_{(0,0,1)} = \left[ \begin{matrix} cos\theta&sin\theta&0&0\ -sin\theta &cos\theta &0&0\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1\ \end{matrix} \right]$

绕任意轴旋转\theta角度

设旋转轴为$\vec n$，这是一个单位化的方向向量。设被旋转的向量为$\vec v$，被旋转后是$\vec v’$。

为了求出$\vec v’$，需要迂回地处理：

  • 将$\vec v$ 分解为 $\vec v = \vec v_{\perp }+\vec v_{\parallel } $，$\vec v_{\parallel }$指的是$\vec v$与$\vec n$平行的部分，$\vec v_{\perp }$ 指的是$\vec v$ 与$\vec n$垂直的部分。
  • 分解为两部分后，可以分别对这两个部分做旋转，然后再合并，所以有： $\vec v’ = \vec v’{\perp }+\vec v’{\parallel }$
  • 让 $\vec v_{\parallel }$ 绕旋转轴$\vec n$旋转$\theta$角度，它依然保持不变，因为它和$\vec n$是同方向的向量，所以有 $\vec v_{\parallel } = \vec v’_{\parallel }$
  • 根据上一点，可以得到： $\vec v’ = \vec v’{\perp }+\vec v{\parallel }$。因此，问题简化为求$\vec v’{\perp }和\vec v{\parallel }$
  • 分析$\vec v_{\parallel }$，可以发现它相当于是$\vec v$在$\vec n$上的投影，根据向量的点积公式：

$$\vec A\cdot \vec B = |\vec A||\vec B|cos\alpha$$

代入$\vec v$、$\vec n$后，得到：$\vec v\cdot \vec n = |\vec v||\vec n|cos\alpha = |\vec v|cos\alpha = |\vec v_{\parallel }|$，即算出了$\vec v_{\parallel }$的长度，又因为$\vec v_{\parallel } $和$\vec n$方向一致、$\vec n$长度为1，所以有:$\vec v_{\parallel } = (\vec v\cdot \vec n) \vec n$

  • 上一步已经解决了$\vec v_{\parallel }$，剩下的就是求$\vec v’{\perp }$。求$\vec v’{\perp }$之前需要先求出$\vec v_{\perp }$，而显然$\vec v_{\perp } = v - \vec v_{\parallel}$
  • 接着，需要计算一个新的向量$\vec w$，$\vec w = \vec n \times \vec v_{\perp }$ （注意叉乘的顺序不能错），所以$\vec w$是一个垂直于$\vec n$、$\vec v_{\perp }$所构成平面的向量。
  • 把$\vec v_{\perp }$、$\vec w$ 分别当做是$\vec n$、$\vec v_{\perp }$平面的x、y轴(2D坐标系)，那么$\vec v’{\perp }$的含义就是指$\vec v{\perp }$在这个2D坐标系下旋转$\theta$度。从而得到等式：

$\vec v’{\perp } = cos\theta \vec v{\perp } + sin\theta \vec w$

好了，所有变量都得到了，总结下最终的公式：

$\vec v_{\parallel } = (\vec v\cdot \vec n) \vec n$

$\vec v_{\perp } = \vec v - \vec v_{\parallel} = \vec v - (\vec v\cdot \vec n) \vec n$

$\begin{align}\vec w &= \vec n \times \vec v_{\perp }\&= \vec n \times (\vec v - \vec v_{\parallel})\&= \vec n \times \vec v - \vec n \times \vec v_{\parallel})\&= \vec n \times \vec v\end{align}$

$\vec v’{\perp } = cos\theta \vec v{\perp } + sin\theta \vec w= cos\theta (v - (\vec v\cdot \vec n) \vec n) + sin\theta (\vec n \times \vec v)$

$\vec v’ = \vec v’{\perp } + \vec v{\parallel }= cos\theta (v - (\vec v\cdot \vec n) \vec n) + sin\theta (\vec n \times \vec v) + (\vec v\cdot \vec n) \vec n$

加粗并居中：

$\vec v’ = cos\theta (v - (\vec v\cdot \vec n) \vec n) + sin\theta (\vec n \times \vec v) + (\vec v\cdot \vec n) \vec n$

这就是绕任意轴的旋转公式了。

接下来是把这个公式转换成矩阵的形式。方法是，把$v_{x} = (1,0,0)$、$v_{y} = (0,1,0)$、$v_{z} = (0,0,1)$，分别代入上面的公式，分别得到：

$v_{x}’ = \left[ \begin{matrix} n_{x}^{2}(1-cos\theta )+cos\theta \ n_{x}n_{y}(1-cos\theta )+n_{z}sin\theta \ n_{x}n_{z}(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta \ \end{matrix} \right] ^{T}$

$v_{y}’ = \left[ \begin{matrix} n_{x}n_{y}(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta \ n_{y}^{2}(1-cos\theta )+cos\theta \ n_{y}n_{z}(1-cos\theta )+n_{x}sin\theta \ \end{matrix} \right] ^{T}$

$v_{z}’ = \left[ \begin{matrix} n_{x}n_{z}(1-cos\theta )+n_{y}sin\theta \ n_{y}n_{z}(1-cos\theta )-n_{x}sin\theta \ n_{z}^{2}(1-cos\theta )+cos\theta \ \end{matrix} \right] ^{T}$

最终的旋转矩阵为:

$R(\vec n, \theta ) = \left[ \begin{matrix} n_{x}^{2}(1-cos\theta )+cos\theta & n_{x}n_{y}(1-cos\theta )+n_{z}sin\theta & n_{x}n_{z}(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta &0\ n_{x}n_{y}(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta &n_{y}^{2}(1-cos\theta )+cos\theta &n_{y}n_{z}(1-cos\theta )+n_{x}sin\theta &0\ n_{x}n_{z}(1-cos\theta )+n_{y}sin\theta &n_{y}n_{z}(1-cos\theta )-n_{x}sin\theta &n_{z}^{2}(1-cos\theta )+cos\theta &0\ 0&0&0&1\ \end{matrix} \right]$

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