四元数理解

在这篇文章中我会尝试用简单的方式去解释四元数的概念，即用可视化的方式解释四元数以及几种对四元数的操作。我将把矩阵、欧拉角和四元数放在一起比较，并解释什么时候该用四元数、什么时候该用欧拉角或矩阵。

介绍

在计算机图形学中，我们使用转换矩阵来表示空间中的一个位置以及朝向。一个转换矩阵还可以表示对一个目标的缩放(scale)或错切(shear)等。我们可以把转换矩阵想象成一个空间，当你用这个矩阵乘以向量、点（甚至矩阵）后，你就把向量、点、矩阵转换进这个空间了。

在这篇文章中，我不会讨论转换矩阵的细节。你可以查看我前面的文章，文章中描述了转换矩阵的细节。在这篇文章中，我想要讨论一个可替代的方案，即用四元数来描述空间里的物体的朝向。

四元数的概念是由爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton发明的（1843年，都柏林）。Hamilton当时正和他的妻子前往爱尔兰皇家研究院，当他从Brougham桥通过皇家运河时，他领悟到了一个激动人心的东西，并立刻把它刻在桥的一个石头上：

$$\mathbf i^{2} = \mathbf j^{2} = \mathbf k^{2} = \mathbf i \mathbf j \mathbf k = -1$$

复数

在我们能够完全理解四元数之前，我们必须先知道四元数是怎么来的。四元数的根源其实是复数。除了知名的数集（自然数、整数、实数、分数）之外，复数系统引入了一个新的数集——虚数。虚数的发明是为了解决一些特定的无解的方程，例如：

$$x^{2} + 1 = 0$$

$$x^{2} = -1$$

一般而言，数学家是不能忍受一个等式是无解的。于是，一个新的术语被发明了，它就是虚数，一个可以解决上面这个等式的数。虚数有这样的形式：$\mathbf i^{2} = -1$

不要为这个术语较真，因为逻辑上这个数是不存在的。只要知道i是一个平方等于-1的东西即可。虚数的集合可以用$\mathbb{I}$来表示。复数的集合$\mathbb{C}$是一个实数和一个虚数的和，形式如下：

$z = a + b\mathbf i \ a,b\in R,\ \mathbf i^{2} = -1$

可以认为所有实数都是b=0的复数、所有虚数都是a=0的复数。

复数的加减

加法：$(a_{1} + b_{1}\mathbf i) + (a_{2} + b_{2}\mathbf i) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2})\mathbf i$

减法：$(a_{1} + b_{1}\mathbf i) - (a_{2} + b_{2}\mathbf i) = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2})\mathbf i$

复数的系数缩放

$$\lambda (a_{1} + b_{1}\mathbf i) = \lambda a_{1} + \lambda b_{1}\mathbf i$$

复数的积

$z_{1} = (a_{1} + b_{1}\mathbf i)$

$z_{2} = (a_{2} + b_{2}\mathbf i)$

$z_{1}z_{2} = (a_{1} + b_{1}\mathbf i)(a_{2} + b_{2}\mathbf i) = a_{1}a_{2} + a_{1}b_{2}\mathbf i + b_{1}a_{2}\mathbf i + b_{1}b_{2}\mathbf i^{2}$

$z_{1}z_{2} = (a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2}) + (a_{1}b_{2} + b_{1}a_{2})\mathbf i$

复数的平方

$z = (a + b\mathbf i)$

$z^{2} = (a + b\mathbf i)(a + b\mathbf i)$

$z^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2ab\mathbf i$

共轭复数

复数的共轭就是指把复数的虚数部分变成负的。共轭复数的符号是\bar z或z^{*}。

$z = (a + b\mathbf i)$

$z^{*} = (a - b\mathbf i)$

复数和它的共轭复数的乘积是：

$zz^{*} = (a + b\mathbf i)(a - b\mathbf i) = a^{2}-ab\mathbf i + ab\mathbf i + b^{2} = a^{2}+b^{2}$

复数的绝对值

我们使用共轭复数来计算复数的绝对值：

$z = (a + b\mathbf i)$

$|z| = \sqrt {zz^{*}} = \sqrt {(a + b\mathbf i)(a - b\mathbf i)} = \sqrt {a^{2} + b^{2} }$

两复数的商

$z_{1} = (a_{1} + b_{1}\mathbf i)$

$z_{2} = (a_{2} + b_{2}\mathbf i)$

$$\frac {z_{1}}{z_{2}} = \frac {a_{1} + b_{1}\mathbf i}{a_{2} + b_{2}\mathbf i} = \frac {(a_{1} + b_{1}\mathbf i)(a_{2} - b_{2}\mathbf i)}{(a_{2} + b_{2}\mathbf i)(a_{2} - b_{2}\mathbf i)}= \frac {a_{1}a_{2}-a_{1}b_{2}\mathbf i+b_{1}a_{2}\mathbf i-b_{1}b_{2}\mathbf i^{2} }{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}= \frac {a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} }{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} + \frac {b_{1}a_{2} - a_{1}b_{2} }{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}\mathbf i$$

i的幂

如果$\mathbf i$的平方等于-1，那么$\mathbf i$的n次幂也应该存在：

$\mathbf i^{0} = 1$

$\mathbf i^{1} = \mathbf i$

$\mathbf i^{2} = -1$

$\mathbf i^{3} = \mathbf i\mathbf i^{2} = -i$

$\mathbf i^{4} = \mathbf i^{2}\mathbf i^{2} = 1$

$\mathbf i^{5} = \mathbf i \mathbf i^{4} = i$

$\mathbf i^{6} = \mathbf i\mathbf i^{5} = \mathbf i^{2} = -1$

如果按照这个顺序写下去，会出现这样一个模式：$ (1,\mathbf i,-1,-\mathbf i,1,…)$

一个类似的模式也出现在递增的负数幂：

$\mathbf i^{0} = 1$

$\mathbf i^{-1} = -i$

$\mathbf i^{-2} = -1$

$\mathbf i^{-3} = i$

$\mathbf i^{-4} = 1$

$\mathbf i^{-5} = -i$

$\mathbf i^{-6} = -1$

你可能已经在数学里头见过类似的模式，但是是以$（x,y,-x,-y,x,…)$的形式，这是在2D笛卡尔平面对一个点逆时针旋转90度时生成的；$（x,-y,-x,y,x,…)$则是在2D笛卡尔平面对一个点顺时针旋转90度时生成的。

复数平面

我们也能够把复数映射到一个2D网格平面——复数平面，只需要把实数映射到横轴、虚数映射到纵轴。

如前面的序列所示，我们可以认为，对一个复数乘以i，这个复数就在复数平面上旋转了90度。

让我们看看这是不是真的。我们随机地在复数平面上取一个点：

$p = 2 + \mathbf i$

p乘以i后得到q：

$q = p\mathbf i = (2+\mathbf i)\mathbf i = 2\mathbf i + \mathbf i^{2} = -1 + 2\mathbf i$

q乘以i后得到r：

$r = q\mathbf i = (-1 + 2\mathbf i)\mathbf i = -\mathbf i + 2\mathbf i^{2} = -2 -\mathbf i$

r乘以i后得到s：

$s = r\mathbf i = (-2 - \mathbf i)\mathbf i = -2\mathbf i-\mathbf i^{2} = 1 - 2\mathbf i$

s乘以i后得到t：

$t = s\mathbf i = (1-2\mathbf i)\mathbf i = \mathbf i - 2\mathbf i^{2} = 2 + \mathbf i$

t刚好是开始的p。如果我们把这些复数放到复数平面上，就得到下面的图：

我们也可以按顺时针方向旋转，只需要把上面的乘数i改成-i。

旋转数（Rotors)

我们也可以在复数平面上进行任意角度的旋转，只需要定义下面这个复数：

$q = cos\theta + \mathbf i sin\theta$

任意的复数乘以q：

$p = a + b\mathbf i$

$q = cos\theta + \mathbf i sin\theta$

$pq = (a + b\mathbf i)(cos\theta + \mathbf i sin\theta )$

$a’ + b’\mathbf i = acos\theta -bsin\theta + (asin\theta +bcos\theta )\mathbf i$

也可以写成矩阵的形式：

$$\left[ \begin{matrix} a’&-b’\ b’&a’\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta &-sin\theta \ sin\theta &cos\theta \ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a&-b\ b&a\ \end{matrix} \right]$$

这也是一个在复数平面绕原点逆时针旋转任意点的方法。（译注：这句话应该是在说旋转矩阵）

四元数

了解了复数系统和复数平面后，我们可以额外增加2个虚数到我们的复数系统，从而把这些概念拓展到3维空间。

四元数的一般形式：

$q = s + x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k \ \ \ s,x,y,z \in \mathbb{R}$

上面的公式是根据Hamilton的著名的表达式得到的：

$\mathbf i^{2} = \mathbf j^{2} = \mathbf k^{2} = \mathbf i\mathbf j\mathbf k = -1$

以及：

$$\mathbf i \mathbf j = \mathbf k \ \mathbf j \mathbf k = \mathbf i \ \mathbf k \mathbf i = \mathbf j$$

$$\mathbf j \mathbf i = -\mathbf k \ \mathbf k \mathbf j = -\mathbf i \ \mathbf i \mathbf k = -\mathbf j$$

你可能已经注意到了，i、j、k之间的关系非常像笛卡尔坐标系下单位向量的叉积规则：

$$\mathbf x\times \mathbf y = \mathbf z \ \mathbf y\times \mathbf z = \mathbf x \ \mathbf z\times \mathbf x = \mathbf y$$

$$\mathbf y\times \mathbf x = -\mathbf z \ \mathbf z\times \mathbf y = -\mathbf x \ \mathbf x\times \mathbf z = -\mathbf y$$

Hamilton自己也发现i、j、k虚数可以被用来表达3个笛卡尔坐标系单位向量i、j、k，并且仍然保持有虚数的性质，也即$\mathbf i^{2} = \mathbf j^{2} = \mathbf k^{2} = -1$。

（$\mathbf i \mathbf j, \mathbf j \mathbf k, \mathbf k \mathbf i$这几个性质的可视化）

上图展示了如何用i、j、k作为笛卡尔坐标系的单位向量。

作为有序数的四元数

我们可以用有序对的形式，来表示四元数：

$[s,\mathbf {v}] \ \ \ s\in \mathbb{R},v\in \mathbb{R^{3}}$

其中的v，也可以用它各自独立的3个分量表示：

$q = [s,x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k] \ \ \ s,x,y,z\in \mathbb{R}$

使用这种表示法，我们可以更容易地展示四元数和复数之间的相似性。

四元数的加减

和复数类似，四元数也可以被加减：

$q_{a} = [s_{a},\mathbf {a}]$

$q_{b} = [s_{b},\mathbf {b}]$

$q_{a} + q_{b} = [s_{a} + s_{b},\mathbf {a} + \mathbf {b}]$

$q_{a} - q_{b} = [s_{a} - s_{b},\mathbf {a} - \mathbf {b}]$

四元数的积

我们也可以表示四元数的乘积：

$$\begin{align} q_{a}q_{b} &= [s_{a},\mathbf {a}][s_{b},\mathbf {b}]\&= (s_{a} + x_{a}\mathbf i + y_{a}\mathbf j +z_{a}\mathbf k)(s_{b} + x_{b}\mathbf i + y_{b}\mathbf j +z_{b}\mathbf k)\&= (s_{a}s_{b} - x_{a}x_{b} - y_{a}y_{b} - z_{a}z_{b})+(s_{a}x_{b} + s_{b}x_{a} \&+ y_{a}z_{b} - y_{b}z_{a})\mathbf i +(s_{a}y_{b}+s_{b}y_{a}+z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\mathbf j \&+ (s_{a}z_{b}+s_{b}z_{a}+x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\mathbf k\end{align}$$

可以看到，四元数的乘积依然还是一个四元数。如果我们把虚数$\mathbf i$、$\mathbf j$、$\mathbf k$替换成有序对：

$\mathbf i = [0, \mathbf i]\ \ \ \mathbf j = [0, \mathbf j]\ \ \ \mathbf k = [0, \mathbf k]$

以及还有[1,0] = 1，将它们代入前面的表达式，就得到了：

$$\begin{align}q_{a}q_{b} &= (s_{a}s_{b} - x_{a}x_{b} - y_{a}y_{b} - z_{a}z_{b})[1,\mathbf 0]\&+ (s_{a}x_{b} + s_{b}x_{a} + y_{a}z_{b} - y_{b}z_{a})[0,\mathbf i]\&+ (s_{a}y_{b}+s_{b}y_{a}+z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})[0,\mathbf j]\&+ (s_{a}z_{b}+s_{b}z_{a}+x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})[0,\mathbf k]\end{align}$$

再把这个表达式扩展成多个有序对的和：

$$\begin{align}q_{a}q_{b} &= [(s_{a}s_{b} - x_{a}x_{b} - y_{a}y_{b} - z_{a}z_{b}),\mathbf 0]\&+ [0,(s_{a}x_{b} + s_{b}x_{a} + y_{a}z_{b} - y_{b}z_{a})\mathbf i]\&+ [0,(s_{a}y_{b}+s_{b}y_{a}+z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\mathbf j]\&+ [0,(s_{a}z_{b}+s_{b}z_{a}+x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\mathbf k]\end{align}$$

如果把后3个四元数相加，并提取公共部分，就可以把等式改写成：

$$\begin{align} q_{a}q_{b} &= [(s_{a}s_{b} - x_{a}x_{b} - y_{a}y_{b} - z_{a}z_{b}),\mathbf 0]\&+ [0,s_{a}(x_{b}\mathbf i + y_{b}\mathbf j + z_{b}\mathbf k) + s_{b}(x_{a}\mathbf i + y_{a}\mathbf j + z_{a}\mathbf k)\&+(y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})\mathbf i + (z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\mathbf j + (x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\mathbf k]\end{align} $$

这个等式是2个有序对的和。第1个有序对是一个实四元数，第2个是一个纯四元数。这两个四元数也可以合并成一个：

$$\begin{align}q_{a}q_{b} &= [(s_{a}s_{b} - x_{a}x_{b} - y_{a}y_{b} - z_{a}z_{b}),s_{a}(x_{b}\mathbf i + y_{b}\mathbf j+z_{b}\mathbf k) \&+ s_{b}(x_{a}\mathbf i+y_{a}\mathbf j+z_{a}\mathbf k)+(y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})\mathbf i+(z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\mathbf j+(x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\mathbf k]\end{align}$$

如果把下面的表达式代入上面的等式：

$\mathbf a = x_{a}\mathbf i + y_{a}\mathbf j + z_{a}\mathbf k$

$\mathbf b = x_{b}\mathbf i + y_{b}\mathbf j + z_{b}\mathbf k$

$\mathbf a\cdot \mathbf b = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + z_{a}z_{b}$

$\mathbf a\times \mathbf b = (y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})\mathbf i + (z_{a}x_{b} - z_{b}x_{a})\mathbf j + (x_{a}y_{b} - x_{b}y_{a})\mathbf k$

（译注：注意，第三条和第四条并不是四元数的点积和叉积，而是向量的点积和叉积）

我们就得到了：

$q_{a}q_{b} = [s_{a}s_{b} - \mathbf a\cdot \mathbf b, s_{a}\mathbf b + s_{b}\mathbf a + \mathbf a\times \mathbf b]$

这就是四元数乘积的一般式。

实四元数

一个实四元数是一个虚部向量为零向量的四元数：

$q = [s,\mathbf {0}]$

两个实四元数的乘积是另一个实四元数：

$q_{a} = [s_{a},\mathbf {0}]$

$q_{b} = [s_{b},\mathbf {0}]$

$q_{a}q_{b} = [s_{a},\mathbf {0}][s_{b},\mathbf {0}] = [s_{a}s_{b},\mathbf {0}]$

这和2个虚部为0的复数的乘积几乎一样：

$z_{1} = a_{1} + 0\mathbf i$

$z_{2} = a_{2} + 0\mathbf i$

$z_{1}z_{2} = (a_{1} + 0\mathbf i)(a_{2} + 0\mathbf i) = a_{1}a_{2}$

四元数的系数缩放

我们也可以用一个系数（实数）去乘四元数：

$q = [s,\mathbf {v}]$

$\lambda q = \lambda [s,\mathbf {v}] = [\lambda s,\lambda \mathbf {v}]$

我们可以用实四元数与普通四元数的乘积，来确认这个等式是否正确：

$q = [s,\mathbf {v}]$

$\lambda = [\lambda ,0]$

$\lambda q = [\lambda ,\mathbf {0}][s,\mathbf {v}] = [\lambda s,\lambda v]$

纯四元数

和实四元数相似，Hamilton也定义了纯四元数。纯四元数是s=0的四元数：

$q = [0,\mathbf { v }]$

也可以写成下面的形式：

$q = x\mathbf { i } + y\mathbf { k } + z\mathbf { k }$

然后是2个纯四元数的乘积：

$q_{a} = [0,\mathbf { a }]$

$q_{b} = [0,\mathbf { b }]$

$q_{a}q_{b} = [0,\mathbf { a }][0, \mathbf { b }] = [-\mathbf { a }\cdot \mathbf { b }, \mathbf { a }\times \mathbf { b }]$

四元数的加法形式

我们可以把四元数写成实四元数和纯四元数的和：

$q = [s, \mathbf { v }]= [s, \mathbf { 0 }] + [0, \mathbf { v }]$

单位四元数

给定任意的向量v，我们可以把这个向量写成一个系数和一个单位方向向量的乘积：

$\mathbf { v } = v\mathbf { \hat { \mathbf v } } \ \ v = |\mathbf {v}|,|\mathbf { \hat { \mathbf v } }|=1$

将这个定义和纯四元数的定义结合，就得到了：

$q = [0,\mathbf { v }]= [0, v \mathbf { \hat { \mathbf v } }]= v[0, \mathbf { \hat { \mathbf v } }]$

然后，我们可以定义单位四元数了，它是一个s=0、\mathbf { v }为单位向量的四元数：

$\hat {q} = [0, \mathbf { \hat { \mathbf v } }]$

四元数的二元形式

我们现在可以把单位四元数的定义和四元数的加法形式结合到一起，就创造了一种新的四元数的表示法，这种表示法和复数的表示法形似：

$q = [s,\mathbf { v }]= [s,\mathbf { 0 }] + [0, \mathbf { v }]= [s,\mathbf { 0 }] + v [0,\mathbf { \hat { \mathbf v }}]= s + v \mathbf {\hat {q} }$

这就给了我们一种和复数非常相似的四元数表示法：

$z = a + b \mathbf {i}$

$q = s + v \mathbf {\hat {q}}$

共轭四元数

共轭四元数的计算，就是将四元数的虚向量取反：

$q = [s,\mathbf {v}]$

$q^{*} = [s,-\mathbf {v}]$

四元数和它的共轭四元数的乘积：

$\begin{align}qq^{*} &= [s,\mathbf {v}][s,-\mathbf {v}]\&= [s^{2} - \mathbf {v}\cdot (-\mathbf {v}),-s\mathbf {v}+s\mathbf {v}+\mathbf {v}\times (-\mathbf {v})]\&= [s^{2} + \mathbf {v}\cdot \mathbf {v}, \mathbf {0}]\&= [s^{2} + \mathbf {v}^{2}, \mathbf {0}]\end{align}$

四元数范数

回忆下复数范数的定义：

$|z| = \sqrt {a^{2}+b^{2}}$

$zz^{*} = |z|^{2}$

类似的，四元数的范数可以这样定义：

$\mathbf q = [s,\mathbf {v}]$

$|\mathbf q| = \sqrt {s^{2} + v^{2}}$

这也让我们可以这样表达四元数范数：

$\mathbf q\mathbf q^{*} = |\mathbf q|^{2}$

四元数规范化

利用四元数范数的定义，就可以对四元数进行规范化。要让一个四元数规范化，只需要让这个四元数去除以它的范数：

$\mathbf q’ = \frac {\mathbf q}{\sqrt {s^{2}+v^{2}}}$

举一个例子，让我们规范化下面这个四元数：

$\mathbf q = [1, 4\mathbf i + 4\mathbf j - 4\mathbf k]$

第一步，先计算q的范数：

$|\mathbf q| = \sqrt {1^{2}+4^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}= \sqrt {49} = 7$

然后，q除以|q|:

$\begin{align}\mathbf q’ &= \frac {\mathbf q}{|\mathbf q|}\&= \frac {(1+4\mathbf i+4\mathbf j-4\mathbf k)}{7}\&= \frac {1}{7}+\frac {4}{7}\mathbf i+\frac {4}{7}\mathbf j-\frac {4}{7}\mathbf k\end{align}$

四元数的逆

四元数的逆用$\mathbf q^{-1}$表示。要计算四元数的逆，需要用四元数的共轭四元数去除以四元数的范数的平方：

$\mathbf q^{-1} = \frac {\mathbf q^{*}}{|\mathbf q|^{2} }$

为了证明这个式子，我们先根据逆的定义，有：

$\mathbf q\mathbf q^{-1} = [1,\mathbf 0] = 1$

两边都左乘共轭四元数$\mathbf q^{*} $:

$\mathbf q^{ * }\mathbf q\mathbf q^{ -1 } = \mathbf q^{ * }$

将上文中的$\mathbf q\mathbf q^{*} = |\mathbf q|^{2}$代入这个式子，得到：

$|\mathbf q|^{2}\mathbf q^{-1} = \mathbf q^{*}$

$\mathbf q^{-1} = \frac {\mathbf q^{*}}{|\mathbf q|^{2}}$

对于单位四元数，它的范数是1，所以可以写成：

$\mathbf q^{-1} = \mathbf q^{*}$

四元数的点积

和向量的点积相似，我们也可以计算2个四元数的点积，只需要将各个对应的系数相乘，然后相加:

$\mathbf q_{1} = [s_{1},x_{1}\mathbf i+y_{1}\mathbf j+z_{1}\mathbf k]$

$\mathbf q_{2} = [s_{2},x_{2}\mathbf i+y_{2}\mathbf j+z_{2}\mathbf k]$

$\mathbf q_{1}\cdot \mathbf q_{2} = s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$

我们也可以利用四元数点积，来计算四元数之间的角度差：

$cos\theta = \frac {s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{|\mathbf q_{1}||\mathbf q_{2}|}$

对于单位四元数，我们可以简化上面的等式：

$cos\theta = s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$

旋转

前面我们定义了一个特殊的复数：旋转数。它是用来旋转2D复数平面的点的：

$\mathbf q = cos\theta + \mathbf i sin\theta$

根据四元数和复数的相似性，应该有可能设计一个可以旋转3D空间的点的四元数：

$\mathbf q = [cos\theta, sin\theta \mathbf {v}]$

让我们测试一下这个理论是否可靠，方法就是计算四元数q和向量p的积。第一步，我们把p写成纯四元数的形式：

$\mathbf p = [0,\mathbf {p}]$

以及单位四元数q：

$\mathbf q = [s,\lambda \mathbf {\hat { \mathbf v }}]$

从而：

$$\begin{align}\mathbf p’ &= \mathbf q\mathbf p \ &= [s,\lambda \mathbf {\hat { \mathbf v }}] [0,\mathbf {p}]\&= [-\lambda \mathbf {\hat { \mathbf v }}\cdot \mathbf {p}, s\mathbf {p} + \lambda \mathbf {\hat { \mathbf v }}\times \mathbf {p} ]\end{align}$$

我们可以看到结果是一个同时有系数、有虚向量的四元数。

让我们先考虑特殊的情形：$\mathbf {p}$与$\mathbf {\hat { \mathbf v }}$正交。这种情况下，点乘部分等于0：$-\lambda \mathbf {\hat { \mathbf v }}\cdot \mathbf {p} = 0$。所以上面的四元数就变成了纯四元数：

$p’ = [0, s\mathbf {p} + \lambda \mathbf {\hat { \mathbf v }}\times \mathbf {p}]$

这时候，要使$\mathbf {p}$绕$\mathbf {\hat { \mathbf v }}$旋转，我们只需要代入$s=cos\theta$和$\lambda =sin\theta$：

$p’ = [0, cos\theta \mathbf {p} + sin\theta \mathbf {\hat { \mathbf v }}\times \mathbf {p}]$

现在，让我们找一个例子来测试上面的公式。譬如绕z轴(就是k轴)旋转45度，那么我们的四元数q就变成：

$q = [cos\theta ,sin\theta \mathbf {k}]= [\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k}]$

然后，选一个特殊的p，并且p要和k轴正交，譬如把p放到i轴上，也就是：

$p = [0, 2\mathbf {i}]$

好了，现在计算下qp：

$\mathbf p’ = \mathbf q\mathbf p= [\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k}][0,2\mathbf {i}]= [0,2\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {i} + 2\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k}\times \mathbf {i}]= [0, \sqrt {2}\mathbf {i} + \sqrt {2}\mathbf {j}]$

结果是一个绕了k轴转了45度的纯四元数。我们可以确认这个四元数的向量部分的长度是：

$\mathbf p’ = \sqrt { \sqrt {2}^{2} + \sqrt {2}^{2} } = 2$

这正是我们所期望的！

我们可以用图像展示旋转过程：

现在，让我们考虑更一般化的四元数，即和p不正交的四元数。现在让我们把p的向量部分偏移45度：

$\hat { \mathbf v } = \frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {i} + \frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k}\mathbf {p} = 2\mathbf {i}$

$q = [cos\theta , sin\theta \mathbf {\hat { \mathbf v }} ]$

$p = [0, \mathbf {p}]$

然后算qp：

$\mathbf p’ = \mathbf q\mathbf p= [cos\theta ,sin\theta \mathbf { \hat { \mathbf v } }][0, \mathbf {p} ][-sin\theta \hat { \mathbf v }\cdot \mathbf {p}, cos\theta \mathbf {p}+sin\theta \mathbf { \hat { \mathbf v } }\times \mathbf {p}]$

代入我们设定的$\mathbf { \hat { \mathbf v } }, \mathbf {p}$，以及$\theta = 45^{\circ }$，得到：

$$p’ = [-\frac {\sqrt {2}}{2}(\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {i} + \frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k} )\cdot (2\mathbf {i} ), \frac {\sqrt {2}}{2}2\mathbf {i} +\frac {\sqrt {2}}{2}(\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {i} + \frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k} )\times 2\mathbf {i} ]= [-1, \sqrt {2}\mathbf {i} + \mathbf {j} ]\sqrt {3}$$

我们可以用图像展示旋转过程：

严格来说，这样子在3维空间中表示p’是不正确的。因为它其实是一个4维的向量！为了简单起见，我只将这个四元数的向量部分显示出来。

然而，还有一线生机。Hamilton发现（但没有正式宣布），如果对qp右乘q的逆，出来的结果是一个纯四元数，并且四元数向量部分的范数可以保持不变。让我们试试应用在我们的例子里。

首先计算:

$\mathbf q = [cos\theta , sin\theta (\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {i} + \frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k})]$

$\mathbf q^{-1} = [cos\theta , -sin\theta (\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {i} + \frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k})]$

(译注：这里$\mathbf q^{-1}=\mathbf q^{*}$是因为q是单位四元数)

再代入$\theta = 45^{\circ }$，得到：

$$\mathbf q^{-1} = [\frac {\sqrt {2}}{2}, -\frac {\sqrt {2}}{2}(\frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {i} + \frac {\sqrt {2}}{2}\mathbf {k})]\frac {1}{2}[\sqrt {2}, -\mathbf {i}-\mathbf {k}]$$

现在，把前面算出来的qp再次拿出来：

$\mathbf q\mathbf p = [-1, \sqrt {2}\mathbf {i} + \mathbf {j}]$

$$\begin{align}qpq^{-1} &= [-1, \sqrt {2}\mathbf {i} + \mathbf {j}]\frac {1}{2}[\sqrt {2}, -\mathbf {i}-\mathbf {k}] \ &= \frac {1}{2}[-\sqrt {2}-(\sqrt {2}\mathbf {i}+\mathbf {j})\cdot (-\mathbf {i}-\mathbf {k}), \mathbf {i}+\mathbf {k}+\sqrt {2}(\sqrt {2}\mathbf {i}+\mathbf {j})-\mathbf {i}+\sqrt {2}\mathbf {j}+\mathbf {k}]\ &= \frac {1}{2}[-\sqrt {2}+\sqrt {2},\mathbf {i}+\mathbf {k}+2\mathbf {i}+\sqrt {2}\mathbf {j}-\mathbf {i}+\sqrt {2}\mathbf {j}+\mathbf {k}]\ &= [0,\mathbf {i}+\sqrt {2}\mathbf {j}+\mathbf {k}]\end{align}$$

这下是纯四元数了，并且它的范数是：

$\mathbf q\mathbf p\mathbf q^{-1}| = \sqrt {1^{2} + \sqrt {2}^{2} + 1^{2} } = \sqrt {4} = 2$

这和原始的p的范数一致。

下面的图像展示了旋转结果：

所以我们可以看到，这个结果是一个纯四元数，并且原四元数的向量的范数也保持住了。但是还有一个问题：向量被旋转了90度而不是45度。这刚好是我们需要的度数的两倍！为了正确地让一个向量绕某个轴向量旋转某个角度，我们必须以目标角度的一半来计算。因此，我们构造了下面的四元数：

$q = [cos\frac {1}{2}\theta ,sin\frac {1}{2}\theta \mathbf { \hat { \mathbf v } }]$

这就是旋转四元数的一般形式！

四元数插值

在计算机图形学中使用四元数，其中一个重要原因是四元数非常适合用来表示空间中的旋转。四元数解决了其他3维空间旋转算法会遇到的恼人的问题，比如使用欧拉角来表示旋转操作时会遇到的万向节锁问题(Gimbal lock)。

使用四元数，我们可以定义好几种方案来表示3维空间的转动插值。第一种是SLERP，它被用来把一个点(物体)从一个朝向平滑地插值到另一个朝向。第二个是SLERP的扩展版本，被称为SQAD，它被用来处理用一系列朝向定义得到的一条路径的插值。

SLERP

SLERP代表Spherical Linear Interpolation。SLERP可以在2个朝向之间平滑地插值。第一个朝向设为q_{1}，第二个朝向设为q_{2} (请记住，这2个指示朝向的四元数是单位四元数，不然阅读下文会混乱）。被插值前的点设为$\mathbf {p}$，插值后的点设为$\mathbf {p}’$。而插值参数t，当t=0时会把$\mathbf {p}$转到$q_{1}$，当t=1时会转到$q_{2}$。

标准的线性插值公式是(译注：这个公式是笛卡尔坐标系下的，不是指四元数)：

$\mathbf {p}’ = \mathbf {p}{1} + t(\mathbf {p}{2} - \mathbf {p}_{1} )$

应用这个等式的一般步骤是：

计算$\mathbf {p}{1} 、\mathbf {p}{2}$之间的差。
根据参数t，计算两个点的差的小数值(因为0<=t<=1)
把第二步的值加上原始点的值，算出结果

我们可以把这个基础公式，套用到2个用四元数表示的朝向的插值上。

四元数的差

根据上面的公式的第一步，我们必须先计算q_{1}、 q_{2}的差。对于四元数来说，这等价于计算2个四元数的角度差(angular difference)：

$diff = \mathbf q_{1}^{-1}\mathbf q_{2}$

（译注：由$\mathbf q_{1}\mathbf p_{diff} = \mathbf q_{2}$推出）

四元数的幂运算

接下来的目标是干掉上面四元数的差的分数部分，方法是计算四元数的t次幂(就是上面的那个插值参数t，区间是[0,1])。

四元数的幂运算的一般化公式是：

\mathbf q^{t} = exp(t \log \mathbf q)

其中，(纯)四元数的exp函数的公式是：

$\begin{align}e^{\mathbf q}&= exp(\mathbf q) \ &= exp([0,\theta \mathbf { \hat { \mathbf v } }])\ &= [cos\theta ,sin\theta \mathbf { \hat { \mathbf v } } ]\end{align}$

(纯)四元数的对数公式是：

$\begin{align}\log \mathbf q &= \log (cos\theta + sin \theta \mathbf { \hat {\mathbf v} })\ &= \log (exp(\theta \mathbf { \hat { \mathbf v } } )) \ &= \theta \mathbf { \hat { \mathbf v } }\ &= [0, \theta \mathbf { \hat { \mathbf v } }]\end{align}$

(译注：上述的2次公式推导，其实省略了很多证明过程。具体可以参考：四元数公式的补充 )

对于t = 0，我们有：
$$\begin{align}q^{0}& = exp(0\log \mathbf q) \ &= exp([cos(0), sin(0)\mathbf { \hat { \mathbf v } }]) \&= exp([1,\mathbf {0}]) \&= [1,\mathbf {0}]\end{align}$$

而对于t = 1，有：

$\mathbf q^{1} = exp(1\log \mathbf q) = \mathbf q$

2个四元数的分数差

对于角旋转的插值计算，我们利用q1和q2的角度分数差来调整原始朝向q1：

$\mathbf q’ = \mathbf q_{1}(\mathbf q_{1}^{-1}\mathbf q_{2})^{t}$

这也就是使用四元数的球面线性插值的一般形式。然而，这不是slerp函数的常用形式。

我们可以应用类似的用于计算向量的球面插值公式，到四元数里。计算向量的球面插值的一般形式定义如下：

$\begin{align}\mathbf v_{t} = \frac {sin((1-t)\theta )}{sin\theta }\mathbf v_{1} + \frac {sin(t\theta )}{sin\theta }\mathbf v_{2}\end{align}$

用图像表示如下：

这个公式可以原封不动地应用到四元数：

$\mathbf q_{t} = \frac {sin((1-t)\theta )}{sin\theta }\mathbf q_{1} + \frac {sin(t\theta )}{sin\theta }\mathbf q_{2}$

但这个公式需要提供角度$\theta$，我们可以计算$\mathbf q_{1}$和$\mathbf q_{2}$的点积从而得出角度$\theta$：

$$cos\theta = \frac {\mathbf q_{1}\cdot \mathbf q_{2}}{ | \mathbf q_{1} || \mathbf q_{2}| }\cos\theta = \frac {s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{|\mathbf q_{1}||\mathbf q_{2}|}\\theta = cos^{-1}(\frac {s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{|\mathbf q_{1}||\mathbf q_{2}|})$$

注意事项

这个方案有2个问题，必须在实现过程中加以考虑。

第一，如果四元数点积的结果是负值，那么后面的插值就会在4D球面上绕远路，这并不是我们想要的。为了解决这个问题，我们测试点积的结果，当结果是负值时，我们将2个四元数的其中一个取反，取反它的系数和向量部分，并不会改变它代表的朝向。而经过这一步操作，可以保证这个旋转走的是最短路径。

当\mathbf q_{1}和\mathbf q_{2}的角度差非常小，小到导致sin\theta = 0 时，会出现第二个问题。如果这个情况出现了，当我们除以sin\theta时就会得到一个未定义的结果。在这个情况下，我们可以回退去使用$\mathbf q_{1}$和$\mathbf q_{2}$的线性插值。

SQUAD

正如一个SLERP可以被用来计算四元数之间的插值，一个SQUAD (Spherical and Quadrangle)可以被用来对旋转路径进行平滑插值。

如果我们有四元数序列：

$\mathbf q_{1},\mathbf q_{2},\mathbf q_{3},\cdots,\mathbf q_{n-2},\mathbf q_{n-1},\mathbf q_{n}$

然后我们再定义一个”辅助”四元数(s_{i})，它是一个中间控制点：

$s_{i} = exp( - \frac {\log(\mathbf q_{i+1}\mathbf q_{i}^{-1})+\log(\mathbf q_{i-1}\mathbf q_{i}^{-1})}{4})\mathbf q_{i}$

所以，沿着子曲线的朝向可以定义为：

$\mathbf q_{i-1},\mathbf q_{i},\mathbf q_{i+1},\mathbf q_{i+2}$

在t时刻的朝向就是：

$squad(\mathbf q_{i}, \mathbf q_{i+1}, s_{i}, s_{i+1}, t ) = slerp(slerp(\mathbf q_{i}, \mathbf q_{i+1},t),slerp(s_{i},s_{i+1},t),2t(1-t))$

总结

除了特别难理解之外，相比矩阵或欧拉角，四元数在表示旋转这个事情上，拥有一些明显的优点。

SLERP和SQUAD，提供了一种使得在朝向之间可以平滑过渡的方法。
使用四元数来串联”旋转”，要比使用矩阵快得多。
对于单位四元数，逆向旋转可以通过对向量部分取反来实现。而计算一个矩阵的逆矩阵是被认为比较慢的，如果这个矩阵未被标准正交化的话(标准正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵)。
从四元数转换到矩阵，要比从欧拉角转换到矩阵快一点。
四元数只需要4个数字(如果旋转四元数已经单位化了那么只需要3个，实数部分可以在运行时计算)来表示一个旋转，而矩阵需要至少9个数字。

尽管使用四元数有这么多优点，还是有缺点存在的。