• Mathematica中大写小写是有区别的,如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。
  • 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出,内部函数一般写全称,而且一定是以大写英文字母开头,如Sin[x],Conjugate[z]等。
  • 乘法即可以用*,又可以用空格表示,如2 3=2*3=6 ,x y,2 Sin[x]等;乘幂可以用^表示,如x^0.5,Tan[x]^y
  • 自定义的变量可以取几乎任意的名称,长度不限,但不可以数字开头。注意不要与系统变量冲突。不要小看这些简单的符号,它们包含的信息远远大于我们所熟知的它们的近似值,它们的精度也是无限的。
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Pi 3.1415....的无限精度数值 
E 2.17828...的无限精度数值
Catalan 0.915966..卡塔兰常数
EulerGamma 0.5772....高斯常数
GoldenRatio 1.61803...黄金分割数
Degree Pi/180角度弧度换算
I 复数单位
Infinity 无穷大
-Infinity 负无穷大
ComplexInfinity 复无穷大
Indeterminate 不定式

基本概念

符号与变量

  • 自定义的变量可以取几乎任意的名称,长度不限,但不可以数字开头。

  • 当你赋予变量任何一个值,除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止,它将始终保持原值不变。(多个打开的文档中符号是可以相互调用的?)

  • 全局赋值用等号=,局部赋值用箭头->。利用%n可以引用第Out[n]行结果,利用%。。。%(k个)可以引用倒数第k个计算结果。

  • 自定义函数格式g[x_,y_]:=(x-y)^2/y。自定义函数表达式左边的自变量要写在[ ]号内,且后面跟随“_”(下划线),右边则不需要。

  • 一定要注意四种括号的用法:

    • ()圆括号表示项的结合顺序,如(x+(y^x+1/(2x)));
    • []方括号表示函数,如Log[x],BesselJ[x,1]
    • {}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合),如{2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}
    • [[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标,如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1
  • 可以使用? 符号名??符号名来获得关于该符号(函数名或其他)的粗略或详细介绍。符号名中还可以使用通配符,例如?M*,则系统将给出所有以M开头的关键词和函数名,再如??For将会得到关于For语句的格式和用法的详细情况。

  • 另外,在程序中书写注释可以用一对(*  *)括起来,注释可以嵌套。

计算精度

  • 在Mathematica中你不必考虑数的精确度,因为除非你指定输出精度,Mathematica总会以绝对精确的形式输出结果。例如:你输入 In[1]:=378/123,系统会输出Out[1]:=126/41,如果想得到近似解,则应输入 In[2]:=N[378/123,5],即求其5位有效数字的数值解,系统会输出Out[2]:=3.073
  • 另外Mathematica还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。 Mathematica与众不同之处还在于它可以处理任意大、任意小及任意位精度的数值,如100^7000,2^(-2000)等数值可以很快地求出,但在其他语言或系统中这是不可想象的,你不妨试一试N[Pi,1000]
  • 若想获得计算结果的近似值,可按如下格式输入:表达式//N或者N[表达式]。要求符合任意精度要求的结果,其格式如下:N[表达式,n] (结果保留n位精度)

格式与语句

  • Mathematica的语句书写十分方便,一个语句可以分为多行写,同一行可以写多个语句(但要以分号间隔)。当语句以分号结束时,语句计算后不做输出(输出语句除外),否则将输出计算的结果。
  • 在Mathematica的编辑界面中输入语句和函数,确认光标处于编辑状态(不断闪烁),然后按Insert键来对这一段语句进行求值。如果语句有错,系统将用红色字体给出出错信息,你可以对已输入的语句进行修改,再运行。如果运行时间太长,你可以通过Alt+.(Alt+句号)来中止求值。  
  • 对函数名不确定的,可先输入前面几个字母(开头一定要大写),然后按Ctrl+K,系统会自动补全该函数名。
  • 按下小键盘区的Enter 会进行计算,按下字母区的Enter出现换行。

“表”及其用法

“表”是Mathematica中一个相当有用的数据类型,它即可以作为数组,又可以作为矩阵;除此以外,你可以把任意一组表达式用一个或一组{}括起来,进行运算、存储。可以说表是任意对象的一个集合。它可以动态地分配内存,可以方便地进行插入、删除、排序、翻转等等几乎所有可以想象到的操作。

如果你建立了一个表,你可以通过下表操作符[]来访问它的每一个元素,索引标号从1开始。如我们定义table={2,Pi ,{aaa,A}}为一个表,那么table[[1]]就为2,table[[2]]就是Pi,而table[[3,1]]表示嵌套在table中的子表{aaa,A}的第一个元素即aaa,table[[3,2]]表示{aaa,A}第二个元素即A。总之,表每一层次上并列的部分用逗号分割,表可以无穷嵌套。

程序流程控制

循环语句有For[赋初值,循环条件,增量语句,语句块]表示如果满足循环条件,则执行语句块和增量语句,直到不满足条件为止,While[test,block]表明如果满足条件test则反复执行语句块block,否则跳出循环,Do[block,{i,imin,imax,istep}]与前者功能是相同的。还有Goto[lab], Label[lab]提供了程序中无条件跳转,Continue[]和Break[]提供了继续循环或跳出循环的控制,Catch[语句块1]和Throw[语句块2]提供了运算中对异常情况的处理。

常用函数

表函数

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Append[表,表达式]或Prepend[表,表达式]把表达式添加到表的最前面或最后面,如Append[{1,2,3},a]表示{1,2,3,a}。
Union[表1,表2,......],Jion[表1,表2,......]来把几个表合并为一个表,二者不同在于Union在合并时删除了各表中重复的元素,而后者仅是简单的合并;
Flatten[表]把表中所有子表"抹平"合并成一个表,如Flatten[{1,2,{Sin[x],dog},{{y}}}]表示{1,2,Sin[x],dog,y}。
Patition[表,整数n]把表按每n个元素分段作为子表,集合成的表。Partition[{1,2,Sin[x],y},2]把表每两个分段,结果为{{1,2},{Sin[x],y}};
Delete[表,位置]、Insert[表,位置]来向表中按位置插入或删除元素,如要删除上面提到的table中的aaa,你可以用Delete[table,{3,1}]来实现;
Sort[表]给出了表中各元素的大小顺序;
Reverse[表]、RotateLeft[表,整数n]、RotateRight[表,整数n]可以分别将一个表进行翻转、左转n个元素、右转n个元素等操作;
Length[表]给出了表第一个层次上的元素个数;
Position[表,表达式]给出了表中出现该表达式的位置,Count[表,表达式]则给出表达式出现的次数。

图形函数

图形函数中最有代表性的函数为Plot[表达式,{变量,下限,上限},可选项],(其中表达式还可以是一个"表达式表",这样可以在一个图里画多个函数);变量为自变量;上限和下限确定了作图的范围;可选项可要可不要,不写系统会按默认值作图,它表示对作图的具体要求。

例如Plot[Sin[x],{x,0,2*Pi},AspectRatio-1]表示在0<x<2Pi的范围内作函数Sin[x]的图象,AspectRatio为可选项,表示图的x向y向比例,AspectRatio-1表示纵横比例为1:1,如果不写这一项,系统默认比例为1:GodenRatio,即黄金分割的比例(注意,可选项的写法为可选项名-可选项值),Plot还有很多可选项,如PlotRange表示作图的值域,PlotPoint表画图中取样点的个数,越大则图越精细,PlotStyle来确定所画图形的线宽、线型、颜色等特性,AxesLabel表式在坐标轴上作标记等等。

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Plot[函数f,{x,xmin,xmax},选项] :在区间{x,xmin,xmax}上,按选项的要求画出函数f的图形 
Plot[{函数1,函数2},{x,xmin,xmax},选项] :在区间{x,xmin,xmax}上,按选项的要求画出几个函数的图形
Plot3D[二维函数表达式,{变量1,下限,上限}, {变量2,下限,上限},可选项}]Plot3D[二维函数表达式,{变量1,下限,上限}, {变量2,下限,上限},可选项}]
二维参数方程作图:ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,下限,上限},可选项]
三维参数方程作图:ParametricPlot3D[{x(u,v),y(u,v),z(u,v)},{u,下限,上限},{v,下限,上限},可选项]
二维等高线图:ContourPlot[二元表达式,{变量1,下限,上限}, {变量2,下限,上限},可选项}]
二维密度图:DensityPlot[二元表达式,{变量1,下限,上限}, {变量2,下限,上限},可选项}]

除使用上述函数作图以外,Mathematica还可以象其他语言一样使用图形元语言作图,如画点函数Point[x,y],画线函数Line[x1,y1,x2,y2],画圆的Circle[x,y,r],画矩形和多边形的Rectangle和Polygon,字符输出的Text[字符串,输出坐标],还有颜色函数RGBColor[red,green,blue]、Hue[],GrayLevel[gray]来描述颜色的亮度、灰度、饱和度,用PointSize[相对尺度]、Thickness[相对尺度]来表示点和线的宽度。总之Mathematica可以精确地调节图形的每一个特征。

数学函数

Mathematica系统内核提供了丰富的数学计算的函数,包括极限、积分、微分、最值、极值、统计、规划等数学的各个领域,复杂的数学问题简化为对函数的调用,极大地提高了解决问题的效率。

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D[f, x] 求f[x]的微分 
D[f, {x, n}] 求f[x]的n阶微分
D[f,x1,x2..] 求f[x]对x1,x2...偏微分
Dt[f, x] 求f[x]的全微分df/dx
Dt[f] 求f[x]的全微分df
Dt[f, {x, n}] n阶全微分df^n/dx^n
Dt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分

Integrate[f, x] f[x]对x在的不定积分
Integrate[f, {x, xmin, xmax}] f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分
Integrate[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] f[x,y]的二重积分

Limit[expr, x->x0] x趋近于x0时expr的极限
Residue[expr, {x,x0}] expr在x0处的留数
Series[f, {x, x0, n}] 给出f[x]在x0处的幂级数展开
Series[f, {x, x0,nx}, {y, y0, ny}]先对y幂级数展开,再对x
Normal[expr] 化简并给出最常见的表达式
SeriesCoefficient[series, n] 给出级数中第n次项的系数
SeriesCoefficient[series, {n1,n2...}]
'或Derivative[n1,n2...][f] 一阶导数
InverseSeries[s, x] 给出逆函数的级数
ComposeSeries[serie1,serie2...] 给出两个基数的组合
SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den]表示一个在x0处x的幂级数,其中aii为系数

O[x]^n n阶小量x^n
O[x, x0]^n n阶小量(x-x0)^n
Dt[f, x] 求f[x]的全微分df/dx
Dt[f] 求f[x]的全微分df
Dt[f, {x, n}] n阶全微分df^n/dx^n
Dt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分

不定积分Integreate函数主要计算只含有“简单函数”的被积函数. “简单函数”包括有理函数、指数函数、对数函数和三角函数与反三角函数。

计算定积分的命令和计算不定积分是同一个Integrate函数,在计算定积分时,除了要给出变量外还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时,用N[%]命令总能得到其数值解.Nintegrate也是计算定积分的函数,其使用方法和形式和Integrate函数相同.用Integrate函数计算定积分得到的是准确解,Nintegrate函数计算定积分得到的是近似数值解.计算多重积分时,第一个自变量相应于最外层积分放在最后计算.

解方程

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Solve[eqns, vars] 从方程组eqns中解出vars 
Solve[eqns, vars, elims] 从方程组eqns中削去变量elims,解出vars
DSolve[eqn, y, x] 解微分方程,其中y是x的函数
DSolve[{eqn1,eqn2,...},{y1,y2...},x]解微分方程组,其中yi是x的函数
DSolve[eqn, y, {x1,x2...}] 解偏微分方程
Eliminate[eqns, vars] 把方程组eqns中变量vars约去
SolveAlways[eqns, vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件
Reduce[eqns, vars] 化简并给出所有可能解的条件
LogicalExpand[expr] 用&&和||将逻辑表达式展开
InverseFunction[f] 求函数f的逆函数
Root[f, k] 求多项式函数的第k个根
Roots[lhs==rhs, var] 得到多项式方程的所有根

代数运算

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Expand[expr] 展开表达式 
Factor[expr] 展开表达式
Simplify[expr] 化简表达式
FullSimplify[expr] 将特殊函数等也进行化简
PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式
ComplexExpand[expr,{x1,x2...}] 按复数实部虚部展开
FunctionExpand[expr] 化简expr中的特殊函数
Collect[expr, x] 合并同次项
Collect[expr, {x1,x2,...}] 合并x1,x2,...的同次项
Together[expr] 通分
Apart[expr] 部分分式展开
Apart[expr, var] 对var的部分分式展开
Cancel[expr] 约分
ExpandAll[expr] 展开表达式
ExpandAll[expr, patt] 展开表达式
FactorTerms[poly] 提出共有的数字因子
FactorTerms[poly, x] 提出与x无关的数字因子
FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出与xi无关的数字因子
Coefficient[expr, form] 多项式expr中form的系数
Coefficient[expr, form, n] 多项式expr中form^n的系数
Exponent[expr, form] 表达式expr中form的最高指数
Numerator[expr] 表达式expr的分子
Denominator[expr] 表达式expr的分母
ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子部分
ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母部分
ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母部分

TrigExpand[expr] 展开表达式中的三角函数
TrigFactor[expr] 给出表达式中的三角函数因子
TrigFactorList[expr] 给出表达式中的三角函数因子的表
TrigReduce[expr] 对表达式中的三角函数化简
TrigToExp[expr] 三角到指数的转化
ExpToTrig[expr] 指数到三角的转化
RootReduce[expr]
ToRadicals[expr]

矩阵的运算符号和函数

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A+c A为矩阵,c为标量,c与A中的每一个元素相加 
A+B A,B为同阶矩阵或向量,A与B的对应元素相加
cA A为矩阵,c为标量,c与A中的每个元素相乘
U.V 向量U与V的内积
A.B 矩阵A与矩阵B相乘,要求A的列数等于B的行数
Det[M] 计算矩阵M的行列式的值
Transepose[M] M的转置矩阵( 或 )
Inverse[M] 计算矩阵M的逆矩阵( )
Eigenvalus[A] 计算矩阵A的全部(准确解)特征值
Eigenvalus[N[A]] 计算矩阵A的全部(数值解)特征值
Eigenvectors[A] 计算矩阵A的全部(准确解)特征向量
Eigenvectors[N[A]] 计算矩阵A的全部(数值解)特征向量
Eigensystem[A] 计算矩阵A的所有(准确解)特征值和特征向量
Eigensystem[N[A]] 计算矩阵A的所有(数值解)特征值和和特征向量