ZYMIN

生活 | 学习 | 科研 | 育儿

0%

傅里叶分析理解

本章的核心思想就是:要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。

一、啥叫频域?

从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为,世间万物都在随着时间不停的改变,并且永远不会静止下来。但如果我告诉你,用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,你会不会觉得我疯了?我没有疯,这个静止的世界就叫做频域

先举一个公式上并非很恰当,但意义上再贴切不过的例子:在你的理解中,一段音乐是什么呢?我们对音乐最普遍的理解是,一个随着时间变化的震动。

上图是音乐在时域的样子,但我相信对于乐器小能手们来说,音乐更直观的理解是这样的:

这就是音乐在频域的样子

现在,我们将上面两个图简化:

时域:

1A86F04B0F0A4CA597E76D4C9FC9CAC1.jpeg

频域:

在时域,我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动,就如同一支股票的走势;而在频域,只有那一个永恒的音符。你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界,实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶同学告诉我们,任何周期函数,都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为,利用对不同琴键不同力度,不同时间点的敲击,可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一,就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数(FourierSerie)和傅里叶变换(Fourier Transformation),我们从简单的开始谈起。

二、傅里叶级数(Fourier Series)

还是举个栗子并且有图有真相才好理解。如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来,你会相信吗?你不会,就像当年的我一样。但是看看下图:

  • 第一幅图是一个郁闷的正弦波\(cos(x)\)
  • 第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加\(cos(x)+a.cos(3x)\)
  • 第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
  • 第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

随着正弦波数量逐渐的增长,他们最终会叠加成一个标准的矩形,大家从中体会到了什么道理?  随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢?不幸的告诉大家,答案是无穷多个。不仅仅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点,但是一旦接受了这样的设定,游戏就开始有意思起来了。

还是上图的正弦波累加成矩形波,我们换一个角度来看看:

在这几幅图中,最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和,也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为0的正弦波!也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。这里,不同频率的正弦波我们成为频率分量。

好了,关键的地方来了!!如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴,数字“1”就是有理数轴的基本单元。(好吧,数学称法为——基。在那个年代,这个字还没有其他奇怪的解释,后面还有正交基这样的词汇我会说吗?)时域的基本单元就是“1秒”,如果我们将一个角频率为 \(w_0\) 的正弦波\(cos(w_0t)\)看作基础,那么频域的基本单元就是$ w_0$。

有了“1”,还要有“0”才能构成世界,那么频域的“0”是什么呢?\(cos(0t)\)就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来,让我们回到初中,回忆一下正弦波是怎么定义的

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。

介绍完了频域的基本组成单元,我们就可以看一看一个矩形波,在频域里的另一个模样了:

这是什么奇怪的东西?这就是矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想,以及无穷的吐槽,其实教科书只要补一张图就足够了:频域图像,也就是俗称的频谱,就是

再清楚一点:

可以发现,在频谱中,偶数项的振幅都是0,也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。老实说,在我学傅里叶变换时,维基的这个图还没有出现,那时我就想到了这种表达方法,而且,后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

但是在讲相位谱之前,我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗?估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下,世界上每一个看似混乱的表象,实际都是一条时间轴上不规则的曲线,但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影,而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢?

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布,幕布的后面有无数的齿轮,大齿轮带动小齿轮,小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演,却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转,永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话,这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的,当时想想似懂非懂,直到有一天我学到了傅里叶级数…

三、傅里叶级数(Fourier Series)的相位谱

通过时域到频域的变换,我们得到了一个从侧面看的频谱,但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少,而没有提到相位。基础的正弦波\(A·sin(wt+θ)\)中,振幅,频率,相位缺一不可,不同相位决定了波的位置,所以对于频域分析,仅仅有频谱(振幅谱)是不够的,我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢?我们看下图,这次为了避免图片太混论,我们用7个波叠加的图。

鉴于正弦波是周期的,我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰,而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢?为了看的更清楚,我们将红色的点投影到下平面,投影点我们用粉色点来表示。当然,这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离,并不是相位。

这里需要纠正一个概念:时间差并不是相位差。如果将全部周期看作\(2\pi\)或者360度的话,相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘\(2\pi\),就得到了相位差。

在完整的立体图中,我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期,就得到了最下面的相位谱。所以,频谱是从侧面看,相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话,可以告诉她:“对不起,我只是想看看你的相位谱。”

注意到,相位谱中的相位除了0,就是\(\pi\)。因为\(cos(t+\pi)=-cos(t)\),所以实际上相位为\(\pi\)的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数,这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是,由于\(cos(t+2\pi)=cos(t)\),所以相位差是周期的,\(\pi\)和3\(\pi\),5\(\pi\),7\(\pi\)都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为\((-\pi,\pi]\),所以图中的相位差均为\(\pi\)

最后来一张大集合:

好了,你是不是觉得我们已经讲完傅里叶级数了?抱歉让你失望了,以上我们讲解的只是傅里叶级数的三角函数形式。接下去才是最究极的傅里叶级数——指数形式傅里叶级数。但是为了能更好的理解指数形式的傅里叶级数,我们还需要一个工具来帮忙——欧拉公式。

四、宇宙耍帅第一公式:欧拉公式

虚数i这个概念大家在高中就接触过,但那时我们只知道它是-1的平方根,可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴,在数轴上有一个红色的线段,它的长度是1。当它乘以 3的时候,它的长度发生了变化,变成了蓝色的线段,而当它乘以-1的时候,就变成了绿色的线段,或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度,那么乘一次 i呢?答案很简单——旋转了 90 度。

同时,我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面,也称复平面。这样我们就了解到,乘虚数i的一个功能——旋转

现在,就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——\[e^{ix}=cos x+isinx\]这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析,但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于\(\pi\) 的时候。\[e^{i\pi}+1=0\]

经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底,用这个公式来给妹子解释数学之美:”石榴姐你看,这个公式里既有自然底数e,自然数1 和0,虚数i还有圆周率\(\pi\),它是这么简洁,这么美丽啊!“但是姑娘们心里往往只有一句话:”臭屌丝……“。这个公式关键的作用,是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义:

欧拉公式所描绘的,是一个随着时间变化,在复平面上做螺旋运动的点,随着时间的改变,在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

关于复数更深的理解,大家可以参考:复数的物理意义是什么?这里不需要讲的太复杂,足够让大家理解后面的内容就可以了。

五、指数形式的傅里叶变换

有了欧拉公式的帮助,我们便知道:正弦波的叠加,也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢?

光波

高中时我们就学过,自然光是由不同颜色的光叠加而成的,而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验:

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱,只是并没有了解频谱更重要的意义。但不同的是,傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加,而是频率从0 到无穷所有频率的组合。这里,我们可以用两种方法来理解正弦波:第一种前面已经讲过了,就是螺旋线在实轴的投影。另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解:

将以上两式相加再除2,得到:

这个式子可以怎么理解呢?我们刚才讲过,\(e^{it}\)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线,那么\(e^{-it}\)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而\(cos(t)\)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半,因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了!

举个例子的话,就是极化方向不同的两束光波,磁场抵消,电场加倍。这里,逆时针旋转的我们称为正频率,而顺时针旋转的我们称为负频率(注意不是复频率)。好了,刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱,现在想一想,连续的螺旋线会是什么样子:

想象一下再往下翻:

是不是很漂亮?你猜猜,这个图形在时域是什么样子?

哈哈,是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。顺便说一句,那个像大海螺一样的图,为了方便观看,我仅仅展示了其中正频率的部分,负频率的部分没有显示出来。

如果你认真去看,海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的,每一条螺旋线都有着不同的振幅(旋转半径),频率(旋转周期)以及相位。而将所有螺旋线连成平面,就是这幅海螺图了。

好了,讲到这里,相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了,我们最后用一张图来总结一下:

本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法,对于求学,还是要踏踏实实弄清楚公式和概念,学习,真的没有捷径。但至少通过本文,我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。

原文来自:数学控制club公众号