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稳定性分析的一个例子

已知系统:

请判断其稳定性。

思路:判断系统的稳定性,只要求出系统的闭环极点即可,而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根,可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点,或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点,从而判断系统的稳定性。同时采用阶跃响应曲线可以验证系统稳定性。

以下为基于Simulink采用阶跃响应曲线验证并观察系统稳定性。

Simulink建模如下:

img

结果如下:

img

以下为基于MATLAB编程(改变系统增益K的值,观察并分析K值得改变对于系统稳定性的影响)绘制系统零极点分布图分析系统稳定性:

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clc;clear;close all;
i = 1;
z = -2.5;
p = [0 -0.5 -0.7 -3];
for k = [0.2 0.5 2 5]
G = zpk(z,p,k);
H = zpk(0,0,1);
Cloop = feedback(G,H);
subplot(4,2,i),step(Cloop);
title(sprintf('增益为%2.1f时系阶跃响应图',k));
subplot(4,2,i+1),pzmap(Cloop);
title(sprintf('增益为%2.1f时系统零极点图',k));
i = i + 2;
end
set(gcf,'color','w');

结果如下:

img

观察上图可以发现当增益小于1时,系统稳定,此时系统的所有极点都位于S平面的左半平面。而当增益大于1时,系统变得不稳定。此时系统的有极点位于S平面的右半平面。