稳定性分析的一个例子

已知系统：

请判断其稳定性。

思路：判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点，或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。同时采用阶跃响应曲线可以验证系统稳定性。

以下为基于Simulink采用阶跃响应曲线验证并观察系统稳定性。

Simulink建模如下：

结果如下：

以下为基于MATLAB编程（改变系统增益K的值，观察并分析K值得改变对于系统稳定性的影响）绘制系统零极点分布图分析系统稳定性：

clc;clear;close all;
i = 1;
z = -2.5;
p = [0 -0.5 -0.7 -3];
for k = [0.2 0.5 2 5]
    G = zpk(z,p,k);
    H = zpk(0,0,1);
    Cloop = feedback(G,H);
    subplot(4,2,i),step(Cloop);
    title(sprintf('增益为%2.1f时系阶跃响应图',k));
    subplot(4,2,i+1),pzmap(Cloop);
   title(sprintf('增益为%2.1f时系统零极点图',k));
   i = i + 2;
end
set(gcf,'color','w');

结果如下：

观察上图可以发现当增益小于1时，系统稳定，此时系统的所有极点都位于S平面的左半平面。而当增益大于1时，系统变得不稳定。此时系统的有极点位于S平面的右半平面。