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Lyapunov稳定性

稳定性分析不仅仅只是设计好控制器后对已有系统增加控制装置后判断系统运动状态是否稳定,还能够通过对系统稳定性的分析过程,反过来去设计一款能够稳定系统的控制器,因此稳定性分析也在控制器设计中担当者设计指导和验收的双重角色。

系统的运动稳定性可以分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。内部稳定性和外部稳定性的关系: 若系统为内部稳定即渐近稳定,则系统必为BIBO稳定即外部稳定;系统为BIBO稳定即外部稳定不能保证系统必为内部稳定即渐近稳定。

Lyapunov稳定性

对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要的 。如果系统是线性定常的,那么有许多稳定性判据,如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而,如果系统是非线性的,或是线性时变的,则上述稳定性判据就将不再适用。 Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

系统的Lyapunov稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时,经过“足够长”的时间以后,系统恢复到平衡状态的能力。系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。

平衡状态

设系统状态方程为\(\dot x = f(x,t)\),若对所有t满足\(\dot x = 0\),则称该状态x为平衡状态,记为\(x_e\),下式成立

\[f( x_e,t) = 0\]

Lyapunov稳定性

1892年,A.M.Lyapunov提出了两种方法(称为第一法和第二法),用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤,也称为间接法。第二法不需求出微分方程的解,也就是说,采用Lyapunov第二法,可以在不求出状态方程解的条件下,确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难,因此这种方法显示出极大的优越性。第二法也称为直接法。

  1. Lyapunov意义下的稳定性

对于系统\(\dot x = f(x,t)\),若(1)任意给定实数\(\varepsilon > 0\),都存在另一个实数\(\delta ( \varepsilon ,t_0) > 0\),使当\(\left\| x_0 - x_e \right\| \le \delta\)时,从任意初态\({x_0}\)出发的解\(\Phi ( {t,x_0,t_0} )\)满足\(\left\| {\Phi \left( {t,{x_0},{t_0}} \right){ { - }}{x_e}} \right\| \le \varepsilon ,\;\;t \ge {t_0}\),则称系统的平衡状态\({x_e}\)是稳定的,其中\(\delta \left( {\varepsilon ,{t_0}} \right)\)是关于\({t_0}\)有关的实数;若\(\delta\)\({t_0}\)无关,则称\({x_e}\)是一致稳定的。

对于定常系统,\(\delta\)\({t_0}\)无关,此时稳定的平衡状态一定是一致稳定的。

(2) 渐近稳定性

对于系统\(\dot x = f\left( {x,t} \right)\),若任意给定实数\(\varepsilon > 0\),都存在另一个实数\(\delta \left( {\varepsilon ,{t_0}} \right) > 0\),使当\(\left\| x_0 - x_e \right\| \le \delta\)时,从任意初态\(x_0\)出发的解\(\Phi \left(t,x_0,t_0 \right)\)满足 \(\left\| \Phi \left( t,x_0,t_0 \right) - x_e \right\| \le \varepsilon ,\;\;t \ge {t_0}\)且对于实数\(\delta \left( {\varepsilon ,{t_0}} \right) > 0\)和任意给定的实数\(\mu > 0\),对应地存在实数\(T\left( {\mu ,\delta ,{t_0}} \right) > 0\)总有, \(lim_{t \to \infty } \left\| {\Phi \left( {t,{x_0},{t_0}} \right) - {x_e}} \right\| \le \mu ,\;t \ge {t_0} + T\left( {\mu ,\delta ,{t_0}} \right)\)则称平衡状态\({x_e}\)是渐近稳定的。 渐近稳定比稳定性有更强的性质。

(3) 大范围渐近稳定 (全局稳定)

如果系统\(\dot x = f( x,t)\)在任意初始状态\({x_0}\)下的每一个解,当\(t \to \infty\)时,都收敛于\(x_e\),那么系统的平衡状态\(x_e\)叫大范围渐近稳定的。

(4) 不稳定性

对于系统\(\dot x = f\left( {x,t} \right)\),若任意给定实数\(\varepsilon > 0\)和任一实数\(\delta > 0\),使当\(\left\| {x_0} - {x_e}\right\| \le \delta\)时,总存在一个初态\({x_0}\),使 \(\left\| \Phi \left( t,{x_0},{t_0} \right) - {x_e} \right\| > \varepsilon , t \ge {t_0}\)则称平衡状态{x_e}是不稳定的。

Lyapunov第一法

基本思路是:首先将非线性系统线性化,然后计算线性化方程的特征值,最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。

线性定常系统

线性定常系统\(\dot x = Ax\),渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的特征值\(\lambda\)均具有负实部,即\({Re} ( {\lambda _i} ) < 0,\;i = 1,2, \cdots ,n\)

线性时变系统

线性时变系统\(\dot x = A\left( t \right)x\),其状态解为\(x\left( t \right) = \Phi \left( {t,{t_0}} \right)x\left( \right)\),根据Lyapunov稳定性定义,有: 

1) 若存在某正数\(N\left({t_0} \right)\),对于任意\({t_0}\)\(t \ge {t_0}\),有\(\left\| \Phi \left( {t,{t_0}} \right) \right\| \le N\left( \right)\),则系统稳定;

2) 若存在某正数\(N\left( {t_0} \right)\),对于任意\({t_0}\)\(t \ge {t_0}\),有\(\left\| \Phi \left( {t,{t_0}} \right)\right\| \le N\),则系统一致稳定;

3) 若存在某正数\(N\left( {t_0} \right)\),对于任意\({t_0}\)\(t \ge {t_0}\),有\(lim_{t \to \infty } \left\| \Phi \left( {t,{t_0}} \right) \right\| \to 0\),则系统渐近稳定;

4) 若存在某常数\(N > 0, C > 0\),则对于任意\({t_0}\)\(t \ge {t_0}\),有\(\left\| \Phi \left( {t,{t_0}} \right) \right\| \le N{e^{ - C\left( {t - {t_0}} \right)}}\),则系统一致渐近稳定。

非线性定常系统

非线性定常系统的自治状态方程为\(\dot x = f( x ),f( x )\)对状态向量x有连续的偏导数,在平衡状态\({x_e} = 0\)处展成泰勒级数,则 \(\dot x = Ax + R( x )\) 式中A为雅可比矩阵,\(R( x )\)包含对x的二次及二次以上的高阶导数。 1) 若A的特征值都具有负实部,则系统是在 的足够小领域内渐近稳定的; 2) 若A的特征值中,至少有一个具有正的实部,则不论被忽略的高阶导数项\(R( x )\)如何,系统的平衡状态总是不稳定的; 3) 若A的特征值中,至少有一个实部为0,此时原线性系统不能用线性化方程来判断其稳定性。

Lyapunov第二法

Lyapunov第二法(也称Lyapunov直接法)是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然,这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外,它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。

由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量(正定函数)连续减小(这意味着总能量对时间的导数为负定),直到平衡状态时为止,则此振动系统是稳定的。

Lyapunov第二法是建立在更为普遍意义的基础上的,即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止。

然而对于一些纯数学系统,毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难,Lyapunov定义了一个虚构的能量函数,称为Lyapunov函数。当然,这个函数无疑比能量更为一般,且其应用也更广泛。实际上,任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件,都可作为Lyapunov函数(其构造可能十分困难)。

下面对这一重要定理作如下几点说明。

  • 这里仅给出了充分条件,也就是说,如果我们构造出了Lyapunov函数 ,那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数,我们并不能给出任何结论,例如我们不能据此说该系统是不稳定的。
  • 对于渐近稳定的平衡状态,则Lyapunov函数必存在。
  • 对于非线性系统,通过构造某个具体的Lyapunov函数,可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的,但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统,如果存在渐近稳定的平衡状态,则它必定是大范围渐近稳定的。
  • 我们这里给出的稳定性定理,既适合于线性系统、非线性系统,也适合于定常系统、时变系统,具有极其一般的普遍意义。