线性代数之平移、缩放、旋转矩阵

线性代数中的平移、缩放和旋转矩阵

平移矩阵 Translate Matrix

$T=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}1& 0& 0& x0& 1& 0& y0& 0& 1& z0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

缩放矩阵 Scale Matrix

$S=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}x& 0& 0& 00& y& 0& 00& 0& z& 00& 0& 0& 1\end{array}\right]$

旋转矩阵 Rotate Matrix

绕(1,0,0)旋转\theta角度

$R_{(1,0,0)}=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}1& 0& 0& 00& cos\theta & sin\theta & 00& -sin\theta & cos\theta & 00& 0& 0& 1\end{array}\right]$

绕(0,1,0)旋转\theta角度

$R_{(0,1,0)}=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}cos\theta & 0& -sin\theta & 00& 1& 0& 0sin\theta & 0& cos\theta & 00& 0& 0& 1\end{array}\right]$

绕(0,0,1)旋转\theta角度

$R_{(0,0,1)}=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}cos\theta & sin\theta & 0& 0-sin\theta & cos\theta & 0& 00& 0& 1& 00& 0& 0& 1\end{array}\right]$

绕任意轴旋转\theta角度

设旋转轴为$\overrightarrow{n}$，这是一个单位化的方向向量。设被旋转的向量为$\overrightarrow{v}$，被旋转后是${\overrightarrow{v}}^{\prime }$。

为了求出${\overrightarrow{v}}^{\prime }$，需要迂回地处理：

• 将$\overrightarrow{v}$ 分解为 $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_{\perp }+{\overrightarrow{v}}_{\parallel }$，${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$指的是$\overrightarrow{v}$与$\overrightarrow{n}$平行的部分，${\overrightarrow{v}}_{\perp }$ 指的是$\overrightarrow{v}$ 与$\overrightarrow{n}$垂直的部分。
• 分解为两部分后，可以分别对这两个部分做旋转，然后再合并，所以有： $\vec v’ = \vec v’{\perp }+\vec v’{\parallel }$
• 让 ${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$ 绕旋转轴$\overrightarrow{n}$旋转$\theta$角度，它依然保持不变，因为它和$\overrightarrow{n}$是同方向的向量，所以有 ${\overrightarrow{v}}_{\parallel }={\overrightarrow{v}}_{\parallel }^{\prime }$
• 根据上一点，可以得到： $\vec v’ = \vec v’{\perp }+\vec v{\parallel }$。\mathrm{因}\mathrm{此}，\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{简}\mathrm{化}\mathrm{为}\mathrm{求}$\vec v’{\perp }和\vec v{\parallel }$
• 分析${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$，可以发现它相当于是$\overrightarrow{v}$在$\overrightarrow{n}$上的投影，根据向量的点积公式：

$$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|cos\alpha$$

代入$\overrightarrow{v}$、$\overrightarrow{n}$后，得到：$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{n}|cos\alpha =|\overrightarrow{v}|cos\alpha =|{\overrightarrow{v}}_{\parallel }|$，即算出了${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$的长度，又因为${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$和$\overrightarrow{n}$方向一致、$\overrightarrow{n}$长度为1，所以有:${\overrightarrow{v}}_{\parallel }=(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

• 上一步已经解决了${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$，剩下的就是求$\vec v’{\perp }$。\mathrm{求}$\vec v’{\perp }$\mathrm{之}\mathrm{前}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{先}\mathrm{求}\mathrm{出}$\vec v_{\perp }$，\mathrm{而}\mathrm{显}\mathrm{然}$\vec v_{\perp } = v - \vec v_{\parallel}$
• 接着，需要计算一个新的向量$\overrightarrow{w}$，$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{v}}_{\perp }$ （注意叉乘的顺序不能错），所以$\overrightarrow{w}$是一个垂直于$\overrightarrow{n}$、${\overrightarrow{v}}_{\perp }$所构成平面的向量。
• 把${\overrightarrow{v}}_{\perp }$、$\overrightarrow{w}$ 分别当做是$\overrightarrow{n}$、${\overrightarrow{v}}_{\perp }$平面的x、y轴(2D坐标系)，那么$\vec v’{\perp }$\mathrm{的}\mathrm{含}\mathrm{义}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{指}$\vec v{\perp }$\mathrm{在}\mathrm{这}\mathrm{个}2D\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{系}\mathrm{下}\mathrm{旋}\mathrm{转}$\theta$度。从而得到等式：

$\vec v’{\perp } = cos\theta \vec v{\perp } + sin\theta \vec w$

好了，所有变量都得到了，总结下最终的公式：

${\overrightarrow{v}}_{\parallel }=(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

${\overrightarrow{v}}_{\perp }=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_{\parallel }=\overrightarrow{v}-(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{w}& =\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{v}}_{\perp }\mathrm{\&}=\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_{\parallel })\mathrm{\&}=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v}-\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{v}}_{\parallel })\mathrm{\&}=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v}\end{array}$

$\vec v’{\perp } = cos\theta \vec v{\perp } + sin\theta \vec w= cos\theta (v - (\vec v\cdot \vec n) \vec n) + sin\theta (\vec n \times \vec v)$

$\vec v’ = \vec v’{\perp } + \vec v{\parallel }= cos\theta (v - (\vec v\cdot \vec n) \vec n) + sin\theta (\vec n \times \vec v) + (\vec v\cdot \vec n) \vec n$

加粗并居中：

${\overrightarrow{v}}^{\prime }=cos\theta (v-(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n})+sin\theta (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{v})+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

这就是绕任意轴的旋转公式了。

接下来是把这个公式转换成矩阵的形式。方法是，把$v_x=(1,0,0)$、$v_y=(0,1,0)$、$v_z=(0,0,1)$，分别代入上面的公式，分别得到：

$v_x^{\prime }={\left[\begin{array}{c}{n}_x^2(1-cos\theta )+cos\theta n_x{n}_y(1-cos\theta )+n_{z}sin\theta n_x{n}_z(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta \end{array}\right]}^T$

$v_y^{\prime }={\left[\begin{array}{c}{n}_x{n}_y(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta n_y^2(1-cos\theta )+cos\theta n_y{n}_z(1-cos\theta )+n_{x}sin\theta \end{array}\right]}^T$

$v_z^{\prime }={\left[\begin{array}{c}{n}_x{n}_z(1-cos\theta )+n_{y}sin\theta n_y{n}_z(1-cos\theta )-n_{x}sin\theta n_z^2(1-cos\theta )+cos\theta \end{array}\right]}^T$

最终的旋转矩阵为:

$R(\overrightarrow{n},\theta )=\left[\begin{array}{ccccccccccccc}{n}_x^2(1-cos\theta )+cos\theta & n_x{n}_y(1-cos\theta )+n_{z}sin\theta & n_x{n}_z(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta & 0n_x{n}_y(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta & n_y^2(1-cos\theta )+cos\theta & n_y{n}_z(1-cos\theta )+n_{x}sin\theta & 0n_x{n}_z(1-cos\theta )+n_{y}sin\theta & n_y{n}_z(1-cos\theta )-n_{x}sin\theta & n_z^2(1-cos\theta )+cos\theta & 00& 0& 0& 1\end{array}\right]$

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