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自适应控制的基本思想

  1. 自适应控制所讨论的对象,一般是指对象的结构已知,仅仅是参数未知,而且采用的控制方法仍是基于数学模型的方法
  2. 但实践中我们还会遇到结构和参数都未知的对象,比如一些运行机理特别复杂,目前尚未被人们充分理解的对象,不可能建立有效的数学模型,因而无法沿用基于数学模型的方法解决其控制问题,这时需要借助人工智能学科,也就是智能控制
  3. 自适应控制与常规的控制与最优控制一样,是一种基于数学模型的控制方法
  4. 自适应控制所依据的关于模型的和扰动的先验知识比较少,需要在系统的运行过程中不断提取有关模型的信息,使模型愈来愈准确
  5. 常规的反馈控制具有一定的鲁棒性,但是由于控制器参数是固定的,当不确定性很大时,系统的性能会大幅下降,甚至失稳

设计思路

问题的提出

对于一个非线性系统

\(\dot{x} =-ax^{2}+u\) a是未知参数,u是控制输入

要求设计一个合理的控制信号\(u\),使得系统状态\(x(t)\)跟踪上期望信号\(x_d(t)\),假设\(x_d(t)\)是解析并有界的,且其微分$_{d}( t) $也是连续且有界的,这个假设在实际中可以满足,因为跟踪信号往往是认为设计的。

解决思路

对于现代控制理论,正如前面所述,设计控制信号实际上是设计误差动力学系统,因此,设误差信号\(e( t) =x( t) -x_{d}( t)\),则误差的动力学系统方程为

\(\dot{e}( t) =-ax^{2}( t) +u-\dot{x}_{d}( t) ———– (1)\)

由于原系统是满足matching条件的,即控制信号和未知参数处于一个方程中,那么根据等价确定性原则(certainty equivalence, CE)设计控制器

\(u=\hat{a} x^{2} +\dot{x}_{d} -Ke ———– (2)\) 其中,\(\hat{a}\)是参数a的估计值;\(K>0\)是控制器参数

接下来需要设计估计参数\(\hat{a}\)的更新律,这里采用结合Lyapunov稳定性进行设计 假设\(\tilde{a} =\hat{a} -a\),将控制u代入(1),则(1)可以写成

\(\dot{e}( t) =\tilde{a} x^{2}( t) -Ke( t) ———– (3)\)

定义Lyapunov函数

\(V\left( e,\tilde{a}\right) =\dfrac{1}{2} e^{2} +\dfrac{1}{2\eta }\tilde{a}^{2} ———– (4)\)

求导,得

\[\dot{V}\left( e,\tilde{a}\right) =e\dot{e} +\dfrac{1}{\eta }\tilde{a} \cdot \dot{\tilde{a}} =e\dot{e} +\dfrac{1}{\eta }\tilde{a} \cdot \dot{\hat{a}}\ \ =e\left(\tilde{a} x^{2} -Ke\right) +\dfrac{1}{\eta }\tilde{a} \cdot \dot{\hat{a}} =-Ke^{2} +\tilde{a}\left( ex^{2} +\dfrac{1}{\eta }\dot{\hat{a}}\right)\] 为了达到系统的稳定,则要使得\(\dot{V}\leq 0\),因此,设计\(\hat{a}\)的更新律为

\(\dot{\hat{a}} =-\eta \cdot e\cdot x^{2} ———– (5)\)

代入,得到

\(\dot{V}\left( e,\tilde{a}\right) \leq 0 ———– (6)\)

由(4),(6)的positive definite特性可以确定(4)是一个合理的Lyapunov函数,由(6)可知(4)有界,即e和\(\tilde{a}\)也有界,且e平方可积。根据期望信号\(x_{d}\)的假设,以及参数误差和跟踪误差的定义可知,x与\(\hat{a}\)也是有界的,因此由(2)得到的控制u也是有界的,且由(1)得到\(\dot{e}( t)\)也有界。 由Barbalat’s Lemma可得\(\dot{e}( t)\)uniformly continuous且

\(\lim _{t\rightarrow \infty } e( t) =0\) 由此可以得到系统渐进稳定,但是我们此时只是得到了系统的跟踪误差渐进收敛到0,但是参数的估计误差并没有收敛到0,因为我们设计参数的更新律时,是从系统的角度来设计的。

综合,整体思路为,

  • 先求出对期望信号\(x_{d}( t)\)跟踪误差的误差动态方程;
  • 根据等价确定性原则(certainty equivalence, CE)设计控制器u(t),包含耦合抵消项和线性负反馈项两项组成,其中的未知参数用其参数估计值代替;
  • 然后设计Lyapunov函数,求导得出参数估计更新律;
  • 最后在保证Lyapunov函数导数非正的情况下,根据Barbalat引理得出跟踪误差渐近收敛得结论

存在的问题

参数估计的更新律中,并没有包含参数估计误差的负反馈,而是与跟踪误差直接耦合在一起\(\dot{\hat{a}} =-\eta \cdot e\cdot x^{2}\),结果导致跟踪误差影响参数估计的过程,而参数估计在控制器中直接影响跟踪误差,两者的直接耦合造成了系统闭环性能的下降。

改进

解决办法就是浸入与不变(Immersion and Invariance, I&I)理论。通过引入关于状态的修正项,从而间接将未知参数引入到参数估计动态当中

我们需要人为设计估计误差的动态特性,此时u是已知量,对于这个问题不同于控制系统的设计在于,我们并不知道z的具体值,因为我们队最终参数\(\theta​\)是未知的,所以我们只能利用已经存在的动态结构,最大可能的构造利于证明收敛的自适应律,也就是\(\dot{\hat{\theta }}​\),相当于控制系统设计中的\(u​\)。 对于,\(\dot{z} =-\dfrac{\partial \beta }{\partial x} \cdot x^{2} \cdot z\),我们需要构造Lyapunov函数,设计\(\beta ( x)\),从而证明了参数收敛的稳定性。

总结

两种设计方法只不过是将自适应律的设计问题的转化了而已,原先的自适应律的设计是直接根据整个系统的Lyapunov进行设计,改进的方法是建立参数的动态模型,并根据此系统的Lyapunov进行设计.