伯恩斯坦多项式与贝塞尔曲线

我们在研究贝塞尔曲线的时候，首先遇到的就是伯恩斯坦多项式（Bernstein polynomial），为此，有必要专门开出一篇文章来探讨伯恩斯坦多项式的性质。当伯恩斯坦系数是二维平面中的一系列固定点时，伯恩斯坦多项式就演变成了贝塞尔曲线。

从定义出发，伯恩斯坦多项式的第n阶项有如下形式：

$$b_{i,n}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\cdot t^i\cdot (1-t{)}^{(n-i)},t\in [0,1]$$

其中 i=0, 1, …, n, 而$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=\frac{n!}{i!(n-i)!}$是二项式系数。

伯恩斯坦 n 阶多项式可以形成一组 n 阶指数多项式的基底。一般伯恩斯坦多项式可以表示为：

$$B_n(t)=\sum _{i=0}^n{\beta }_i\cdot b_{i,n}(t)$$

其中，${\beta }_i$ 叫做伯恩斯坦系数。读者看到这个形式可能一下子就联想到贝塞尔曲线了。是的，这就是贝塞尔曲线的函数形式。

性质

伯恩斯坦多项式满足如下性质：

• 对称性：$b_{i,n}(t)=b_{n-i,n}(1-t)$

• 正性：$b_{i,n}(t)⩾0$

• 归一化：$\sum _{i=0}^n{b}_{i,n}(t)=1$

• 极值：

当 $i\ne 0,n$ 时，$b_{i,n}(t)$ 有且只有一个极大值点，位于 $t=\frac{i}{n}$，值为

$b_{i,n}(\frac{i}{n})=i^i\cdot n^{-n}\cdot (n-i{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$

• 临近项关系

伯恩斯坦多项式的项总是可以表示为两个比他高一阶项的线性组合

$b_{i,n-1}(t)=\frac{n-i}{n}{b}_{i,n}(t)+\frac{i+1}{n}{b}_{i+1,n}(t)$

而其导数可以表示为两个低一阶项的线性组合

$b_{i,n}^{‘}(t)=n\cdot [b_{i-1,n-1}(t)-b_{i,n-1}(t)]$

当然这里需要考虑到一个约定，即当 i<0 或 i>n 时，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=0$

这是很容易理解的。二阶项系数的含义是在不考虑顺序的情况下，从 n 中挑选出子集大小为 i 的可能性有多少。当 i<0 或 i>n 时，其可能性当然为零。

由此，我们也知道，当 i<0 或 i>n 时，$b_{i,n}(t)=0$

• 端点：

当 t=0 或 t=1 时，其结果满足

$\begin{array}{}\text{(1)}& b_{i,n}(0)& ={\delta }_{i,0}\text{(2)}& b_{i,n}(1)& ={\delta }_{i,n}\end{array}$，

其中，${\delta }_{i,j}=\{\begin{array}{ll}0,& i\ne j\\ 1,& i=j\end{array}$，是 Kronecker $\delta$ 函数。

• 积分：${\int }_0^1{b}_{i,n}(t)dt=\frac{1}{n+1}$

多项式前几阶结果

通过求取多项式的前几阶结果，并画出相应的函数图，可以很直观地验证上述伯恩斯坦多项式的几个性质。

零阶：

$\begin{array}{}\text{(3)}& b_{0,0}(t)& =1\end{array}$

一阶：

$\begin{array}{}\text{(4)}& b_{0,1}(t)& =1-t\text{(5)}& b_{1,1}(t)& =t\end{array}$

二阶：

$\begin{array}{}\text{(6)}& b_{0,2}(t)& =(1-t{)}^2\text{(7)}& b_{1,2}(t)& =2(1-t)t\text{(8)}& b_{2,2}(t)& =t^2\end{array}$

三阶：

$\begin{array}{}\text{(9)}& b_{0,3}(t)& =(1-t{)}^3\text{(10)}& b_{1,3}(t)& =3(1-t{)}^{2}t\text{(11)}& b_{2,3}(t)& =3(1-t)t^2\text{(12)}& b_{3,3}(t)& =t^3\end{array}$

四阶：

$\begin{array}{}\text{(13)}& b_{0,4}(t)& =(1-t{)}^4\text{(14)}& b_{1,4}(t)& =4(1-t{)}^{3}t\text{(15)}& b_{2,4}(t)& =6(1-t{)}^2{t}^2\text{(16)}& b_{3,4}(t)& =4(1-t)t^3\text{(17)}& b_{4,4}(t)& =t^4\end{array}$

五阶：

$\begin{array}{}\text{(18)}& b_{0,5}(t)& =(1-t{)}^5\text{(19)}& b_{1,5}(t)& =5(1-t{)}^{4}t\text{(20)}& b_{2,5}(t)& =10(1-t{)}^3{t}^2\text{(21)}& b_{3,5}(t)& =10(1-t{)}^2{t}^3\text{(22)}& b_{4,5}(t)& =5(1-t)t^4\text{(23)}& b_{5,5}(t)& =t^5\end{array}$

贝塞尔曲线

伯恩斯坦多项式的一般形式

$B_n(t)=\sum _{i=0}^n{\beta }_i\cdot b_{i,n}(t)$

其中，$b_{i,n}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\cdot t^i\cdot (1-t{)}^{(n-i)},t\in [0,1]$

是 n 阶伯恩斯坦基底多项式。而 ${\beta }_i$ 叫做伯恩斯坦系数。当伯恩斯坦系数是二维平面中的一系列固定点时，伯恩斯坦多项式就演变成了贝塞尔曲线。

我们先来看一个三阶贝塞尔曲线的例子：

在该例子中，共有四个坐标点（控制点）。读者可以尝试拖动四个控制点，看看贝塞尔曲线的形态变化。

结合伯恩斯坦多项式的前几阶展开式，我们可以得到相应的贝塞尔曲线形式。

线性曲线

对一阶伯恩斯坦多项式展开，得到如下形式：

$B(t)=P_0\cdot (1-t)+P_1\cdot t=P_0+(P_1–P_0)\cdot t$

从公式可以看出，二阶展开式对应的是介于 $P_0$和 $P_1$ 之间的线性插值点。其动态效果如下：

二次方曲线

对二阶伯恩斯坦多项式展开，得到如下形式：$B(t)=P_0\cdot (1-t{)}^2+P_1\cdot 2(1-t)t+P_2\cdot t^2$

B(t) 对 t 求导，得到下式：$B^{\prime }(t)=2(1-t)\cdot (P_1–P_0)+2t\cdot (P_2–P_1)$

把两个端点代入式子中:

$$\begin{array}{}\text{(24)}& B^{\prime }(0)& =2(P_1–P_0)\text{(25)}& B^{\prime }(1)& =2(P_2–P_1)\end{array}$$

这个结果显示，位于 $P_0$ 和 $P_2$ 点的两条切线相交于 $P_1$ 点。而当 t 从 0 逐渐变化到 1 的过程中， B(t) 点处的切线会从 $P_0{P}_1$ 直线逐渐过渡到 $P_1{P}_2$ 直线。其动态效果如下：

读者可以尝试拖动三个坐标点(控制点)看看曲线和切线的形态变化。

三次方曲线

和二次方曲线类似，我们先写出展开式:

$B(t)=P_0\cdot (1-t{)}^3+P_1\cdot 3(1-t{)}^{2}t+P_2\cdot 3(1-t)t^2+P_3\cdot t^3$

接着对展开式求导，得到如下结果：

$B^{\prime }(t)=3(1-t{)}^2\cdot (P_1–P_0)+6(1-t)t\cdot (P_2–P_1)+3t^2\cdot (P_3–P_2)$

代入端点值：

$\begin{array}{}\text{(26)}& B^{\prime }(0)& =3(P_1–P_0)\text{(27)}& B^{\prime }(1)& =3(P_3–P_2)\end{array}$

结果显示，位于 $P_0$和 $P_2$ 点的两条切线分别相交于 $P_1$ 点和 $P_2$ 点。而当 t 从 0 逐渐变化到 1 的过程中，B(t) 点处的切线会从 $P_0{P}_1$直线逐渐过渡到 $P_2{P}_3$ 直线。其动态效果如下：

读者同样可以尝试拖动四个坐标点(控制点)来看看曲线和切线的形态变化。

四次方曲线和更高次的曲线，我们不做详细的讨论，只做动态曲线演示。其结论的推导方式和三次方、二次方曲线类似。感兴趣的读者可以自己推导。

四次方曲线

五次方曲线

参考

• Bézier curve
• Animated Bézier Curves
• Wolfram
• Wikipedia
• Synscope