性质1 线性性质

设 f(x) 和 g(x) 都在 [a, b] 上可积， 则 $\forall k_1, k_2 \in R, k_1 f(x) + k_2 g(x)$ 也可积， 且有
$$\int _{a} ^{b} [k_1 f(x) + k_2 g(x)] \mathrm {d} x = k_1 \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x + k_2 \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x$$

性质2 乘积可积性

若 f(x) 和 g(x) 都在 [a, b] 上可积，则 f(x)g(x) 在 [a, b] 上 也可积。

性质3 保序性

若 f(x) 和 g(x) 都在 [a, b] 上可积，若 $f(x) \ge g(x)$ ，则 $\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x \ge \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x$

性质4 绝对可积性

若 f(x) 在 [a, b] 上可积，则 |f(x)| 也在 [a, b] 上可积，且

$| \int_{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x | \le \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x$

性质5 区间可加性

若 f(x) 在 [a, b] 上有界，对于区间 [a,b] 的任意一个划分 P， $\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n$, 令 $M_i = \sup {f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], }$,$ m_i = \inf {f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] }$, 定义 $\overline S(P) = \sum _{i = 1} ^{n} M_i \Delta x_i$,$\underline S(P) = \sum _{i = 1} ^{n} m_i \Delta x_i$, 记 $\overline {\textbf {S}} = { \overline S(P)}$, $\underline {\textbf {S}} = { \underline S(P)}$, $L = \inf {\overline S(P) : \overline S(P) \in \overline {\textbf {S}} }, l = \sup {\underline S(P) : \underline S(P) \in \underline {\textbf {S}} }$,
设点 $c \in [a, b]$, ，则 f(x) 在 [a, c], [c, b] 上有界。
对于 区间 [a, c]上的任意一个划分 $P_1$, 同样定义 f(x) 在 [a, c] 上的 $\overline {S_1} (P_1)$, $\underline {S_1} (P_1)$, 记 $\overline {\textbf {S}_1} = { \overline {S_1} (P_1)}$, $\underline {\textbf {S}_1} = { \underline {S_1} (P_1)}$, $L_1 = \inf {\overline {S_1} (P_1) : \overline {S_1}(P_1) \in \overline {\textbf {S}_1} }, l_1 = \sup {\underline {S_1}(P_1) : \underline {S_1}(P_1) \in \underline {\textbf {S}_1} }$,
对于 区间 [c, b]上的任意一个划分 $P_2$,同样定义 f(x) 在 [c, b] 上的 $\overline {S_2} (P_2), \underline {S_2} (P_2)$, 记 $\overline {\textbf {S}_2} = { \overline {S_2} (P_2)}$, $\underline {\textbf {S}_2} = { \underline {S_2} (P_2)}$, $L_2 = \inf {\overline {S_2} (P_2) : \overline {S_2} (P_2) \in \overline {\textbf {S}_2} }, l_2 = \sup {\underline {S_2} (P_2) : \underline (P_2) \in \underline {\textbf {S}_2} },$ 则： $L = L_1 + L_2, l = l_1 + l_2$

性质6 积分第一中值定理

设 f(x), g(x) 都在 [a, b] 上可积， g(x)在 [a, b] 上不变号， 令 $M = \sup {f(x): x \in [a, b]}, m = \inf {f(x): x \in [a, b]}$, 则存在$\eta \in [m, M]$, 使得 $\int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x = \eta \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,$特别的，若 f(x) 在 [a, b] 上连续，则存在$\xi \in [a, b]$, 使得

$\int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x = f(\xi) \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,$