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定积分的性质

性质1 线性性质

设 f(x) 和 g(x) 都在 [a, b] 上可积, 则 \(\forall k_1, k_2 \in R, k_1 f(x) + k_2 g(x)\) 也可积, 且有 \[\int _{a} ^{b} [k_1 f(x) + k_2 g(x)] \mathrm {d} x = k_1 \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x + k_2 \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x\]

性质2 乘积可积性

若 f(x) 和 g(x) 都在 [a, b] 上可积,则 f(x)g(x) 在 [a, b] 上 也可积。

性质3 保序性

若 f(x) 和 g(x) 都在 [a, b] 上可积,若 \(f(x) \ge g(x)\) ,则 \(\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x \ge \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x\)

性质4 绝对可积性

若 f(x) 在 [a, b] 上可积,则 |f(x)| 也在 [a, b] 上可积,且

\(| \int_{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x | \le \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x\)

性质5 区间可加性

若 f(x) 在 [a, b] 上有界,对于区间 [a,b] 的任意一个划分 P, \(\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n\), 令 \(M_i = \sup \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \}\),$ m_i = {f(x): x }$, 定义 \(\overline S(P) = \sum _{i = 1} ^{n} M_i \Delta x_i\),\(\underline S(P) = \sum _{i = 1} ^{n} m_i \Delta x_i\), 记 \(\overline {\textbf {S}} = \{ \overline S(P)\}\), \(\underline {\textbf {S}} = \{ \underline S(P)\}\), \(L = \inf \{\overline S(P) : \overline S(P) \in \overline {\textbf {S}} \}, l = \sup \{\underline S(P) : \underline S(P) \in \underline {\textbf {S}} \}\), 设点 \(c \in [a, b]\), ,则 f(x) 在 [a, c], [c, b] 上有界。 对于 区间 [a, c]上的任意一个划分 \(P_1\), 同样定义 f(x) 在 [a, c] 上的 \(\overline {S_1} (P_1)\), \(\underline {S_1} (P_1)\), 记 \(\overline {\textbf {S}_1} = { \overline {S_1} (P_1)}\), \(\underline {\textbf {S}_1} = { \underline {S_1} (P_1)}\), \(L_1 = \inf \{\overline {S_1} (P_1) : \overline {S_1}(P_1) \in \overline {\textbf {S}_1} \}, l_1 = \sup \{\underline {S_1}(P_1) : \underline {S_1}(P_1) \in \underline {\textbf {S}_1} \}\), 对于 区间 [c, b]上的任意一个划分 \(P_2\),同样定义 f(x) 在 [c, b] 上的 \(\overline {S_2} (P_2), \underline {S_2} (P_2)\), 记 \(\overline {\textbf {S}_2} = { \overline {S_2} (P_2)}\), \(\underline {\textbf {S}_2} = { \underline {S_2} (P_2)}\), \(L_2 = \inf \{\overline {S_2} (P_2) : \overline {S_2} (P_2) \in \overline {\textbf {S}_2} \}, l_2 = \sup \{\underline {S_2} (P_2) : \underline (P_2) \in \underline {\textbf {S}_2} \},\) 则: \(L = L_1 + L_2, l = l_1 + l_2\)

性质6 积分第一中值定理

设 f(x), g(x) 都在 [a, b] 上可积, g(x)在 [a, b] 上不变号, 令 \(M = \sup \{f(x): x \in [a, b]\}, m = \inf \{f(x): x \in [a, b]\}\), 则存在\(\eta \in [m, M]\), 使得 \(\int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x = \eta \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,\)特别的,若 f(x) 在 [a, b] 上连续,则存在\(\xi \in [a, b]\), 使得

\(\int _{a} ^{b} f(x) g(x) \mathrm {d} x = f(\xi) \int _{a} ^{b} g(x) \mathrm {d} x,\)